Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольник ABC со сторонами  AB = 5,  BC = 7,  CA = 10  вписана окружность. Прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и K, касается этой окружности. Найдите периметр треугольника MBK.

   Решение

---

В какое наименьшее количество цветов можно покрасить натуральные числа так, чтобы любые два числа, отличающиеся на 2 или в два раза, были покрашены в разные цвета?

   Решение

---

Пусть ABC – остроугольный треугольник, в котором  AC < BC; M – середина стороны AB. В описанной окружности Ω треугольника ABC, проведён диаметр CC'. Прямая CM пересекает прямые AC' и BC' в точках K и L соответственно. Перпендикуляр к прямой AC', проведённый через точку K, перпендикуляр к прямой BC', проведённый через точку L, и прямая AB образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.

   Решение

---

Биссектрисы BD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O.
Докажите, что если  OD = OE,  то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине A равен 60°.

   Решение

---

Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
  а) достаточно четырёх взвешиваний и
  б) недостаточно трёх.

   Решение

---

Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая. Вычислите сумму квадратов расстояний от четырёх вершин квадрата до этой прямой.

   Решение

---

Докажите, что количество положительных корней многочлена  f(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  не превосходит числа перемен знака в последовательности  a_n, ..., a₁, a₀.

   Решение

---

Дан выпуклый четырёхугольник площади S. Внутри него выбирается точка и отображается симметрично относительно середин его сторон. Получаются четыре вершины нового четырёхугольника. Найдите его площадь.

   Решение

---

Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью, втрое меньшей скорости автобуса, и способен увидеть автобус на расстоянии не более 2 км?

   Решение

---

Известно, что некоторый многочлен в рациональных точках принимает рациональные значения.
Докажите, что все его коэффициенты рациональны.

   Решение

---

На острове 100 рыцарей и 100 лжецов. У каждого из них есть хотя бы один друг. Однажды ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – рыцари", и ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – лжецы". Каково наименьшее возможное количество пар друзей, один из которых рыцарь, а другой лжец?

   Решение

---

Точки M и N лежат на сторонах соответственно AB и AC треугольника ABC, причём AM = CN и AN = BM. Докажите, что площадь четырёхугольника BMNC по крайней мере в три раза больше площади треугольника AMN.

   Решение

---

Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани тетраэдра имеют площади P₁, P₂, P₃, P₄. Докажите, что а) в правильном тетраэдре P₁ ≤ P₂ + P₃ + P₄; б) если S₁, S₂, S₃, S₄ — площади соответствующих граней тетраэдра, то P₁S₁ ≤ P₂S₂ + P₃S₃ + P₄S₄.

   Решение

---

Треугольники ABC и ABD равны, причём точки C и D не совпадают. Докажите, что прямая CD перпендикулярна прямой AB.

   Решение

---

Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен $x^n - a x^{n-1} + bx^{n-2} + \ldots$ имеет $n$ натуральных корней, то на плоскости найдутся $a$ прямых, у которых ровно $b$ точек пересечения друг с другом. Не ошибается ли барон?

   Решение

---

В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона BC параллельна диагонали AD, CD || BE, DE || AC и  AE || BD. Докажите, что AB || CE.

   Решение

---

Площадь трапеции ABCD равна 23. Точка M на боковой стороне AB выбрана так, что  2MB = MA.  Точка N на боковой стороне CD выбрана так, что
3DN = CD.  Точка L – пересечение прямых DM и AN. Найдите площадь треугольника ALD, если  AD = 3BC.

   Решение

---

Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных клеток равна сумме площадей белых клеток.

   Решение

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 460]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 55012

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырёхугольника ODCE, зная, что BC = a, AC = b, AB = c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102517

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В некоторый угол B вписаны две непересекающиеся окружности. Окружность большего радиуса касается сторон этого угла в точках A и C, меньшего — в точках A₁ и C₁(точки A, A₁ и C, C₁ лежат на разных сторонах угла B). Прямая AC₁ пересекает окружности большего и меньшего радиусов в точках E и F соответственно. Найдите отношение площадей треугольников ABC₁ и A₁BC₁, если A₁B = 2, EF = 1, а длина AE равна среднему арифметическому длин BC₁ и EF.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53658

Темы:   [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Через произвольную точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые параллельные сторонам треугольника. При этом треугольник разбивается на три параллелограмма и три треугольника. Докажите, что произведение площадей параллелограммов в восемь раз больше произведения площадей треугольников.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55035

Темы:   [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AD и EC пересекаются в точке O. Отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник AOC, к радиусу окружности, вписанной в четырёхугольник ODBE, равно . Найдите отношение .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55135

Темы:   [ Параллелограмм Вариньона ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных клеток равна сумме площадей белых клеток.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 460]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями