Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 17 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Дан равносторонний треугольник со стороной a. Найдите отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2 : 1.

Вниз   Решение


Автор: Зимин А.

В остроугольном треугольнике ABC угол C равен 60°, H – точка пересечения высот. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает прямые CA и CB в точках M и N соответственно. Докажите, что прямые AN и BM параллельны (или совпадают).

ВверхВниз   Решение


На стороне AB треугольника ABC дана точка P. Проведите через точку P прямую (отличную от AB), пересекающую лучи CA и CB в таких точках M и N, что AM = BN.

ВверхВниз   Решение


Ортогональные проекции треугольника ABC на две взаимно перпендикулярные плоскости являются правильными треугольниками со сторонами 1. Найдите периметр треугольника ABC , если известно, что AB = .

ВверхВниз   Решение


Пусть M и N — середины оснований трапеции. Докажите, что если прямая MN перпендикулярна основаниям, то трапеция — равнобедренная.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC отмечены середины сторон AC и BC – точки M и N соответственно. Угол MAN равен 15°, а угол BAN равен 45°.
Найдите угол ABM.

ВверхВниз   Решение


Найдите периметр четырехугольника ABCD, в котором AB = CD = a, $ \angle$BAD = $ \angle$BCD = $ \alpha$ < 90o, BC $ \neq$ AD.

ВверхВниз   Решение


Отрезки AB и CD пересекаются. Докажите, что если отрезки AC, CB, BD и AD равны, то луч AB является биссектрисой угла CAD, луч CD – биссектрисой угла ACB, а CD перпендикулярно AB.

ВверхВниз   Решение


Найдите углы и стороны четырёхугольника с вершинами в серединах сторон равнобедренной трапеции, диагонали которой равны 10 и пересекаются под углом 40o.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике основание равно 12; один из углов при нём равен 120o; сторона против этого угла равна 28. Найдите третью сторону.

ВверхВниз   Решение


Два угла треугольника равны 50o и 100o. Под каким углом видна каждая сторона треугольника из центра вписанной окружности?

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1 и CC1. Докажите, что если  $ \angle$CC1B1 = 30o, то либо  $ \angle$A = 60o, либо  $ \angle$B = 120o.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник с периметром, равным 24. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон данного.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC:  ∠C = 60°,  ∠A = 45°.  Пусть M – середина BC, H – ортоцентр треугольника ABC.
Докажите, что прямая MH проходит через середину дуги AB описанной окружности треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC на продолжении гипотенузы AB за точку B отложен отрезок BD, равный BC, и точка D соединена с C. Найдите стороны треугольника ADC, если катет BC = a.

ВверхВниз   Решение


Точка $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Прямые, проходящие через точку $A$ параллельно $BI$, $CI$ пересекают серединный перпендикуляр к $AI$ в точках $S$, $T$ соответственно. Прямые $BT$ и $CS$ пересекаются в точке $Y$, а точка $A^*$ такова, что $BICA^*$ параллелограмм. Докажите, что середина отрезка $YA^*$ лежит на вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$.

ВверхВниз   Решение


Сторона треугольника равна 21, а две другие стороны образуют угол в 60o и относятся как 3:8. Найдите эти стороны.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1331]      



Задача 52629

Темы:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Диаметр, основные свойства ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Меньшая сторона прямоугольника равна 1, острый угол между диагоналями равен 60o. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника.

Прислать комментарий     Решение


Задача 55253

Тема:   [ Теорема косинусов ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Сторона треугольника равна 21, а две другие стороны образуют угол в 60o и относятся как 3:8. Найдите эти стороны.

Прислать комментарий     Решение


Задача 57593

Тема:   [ Теорема косинусов ]
Сложность: 2+
Классы: 9

Докажите, что  4S = (a2 - (b - c)2)ctg($ \alpha$/2).
Прислать комментарий     Решение


Задача 57594

Тема:   [ Теорема косинусов ]
Сложность: 2+
Классы: 9

Докажите, что  cos2($ \alpha$/2) = p(p - a)/bc и  sin2($ \alpha$/2) = (p - b)(p - c)/bc.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57599

Тема:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
Сложность: 2+
Классы: 9

Докажите, что:
а)  a = r(ctg($ \beta$/2) + ctg($ \gamma$/2)) = r cos($ \alpha$/2)/(sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2));
б)  a = ra(tg($ \beta$/2) + tg($ \gamma$/2)) = racos($ \alpha$/2)/(cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2));
в)  p - b = rctg($ \beta$/2) = ratg($ \gamma$/2);
г)  p = ractg($ \alpha$/2).
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1331]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .