Каталог по темам

Выбрано 14 задач

Существует следующий способ проверить, делится ли данное число N на 19:
1) отбрасываем последнюю цифру у числа N;
2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;
3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19.
4) если остается 19, то 19 делится на N, в противном случае N не делится на 19.
Докажите справедливость этого признака делимости.

Решение

Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {a_n} и {b_n} по правилам:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается μ(a, b).

Решение

Докажите, что число 192021...7980 делится на 1980.

Решение

Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3?

Решение

В окружность радиуса 17 вписан четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и находятся на расстоянии 8 и 9 от центра окружности. Найдите стороны четырёхугольника.

Решение

Постройте образ квадрата с вершинами A(0, 0), B(0, 2), C(2, 2), D(2, 0) при следующих преобразованиях:
а) w = iz; б) w = 2iz – 1; в) w = z²; г) w = z^–1.

Решение

Каждая из трёх окружностей радиуса r касается двух других. Найдите площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключёнными между точками касания.

Решение

Пусть z = e^2πi/n = cos ^2π/_n + i sin ^2π/_n. Для произвольного целого a вычислите суммы
а) 1 + z^a + z^2a + ... + z^(n–1)a;
б) 1 + 2z^a + 3z^2a + ... + nz^(n–1)a.

Решение

Выразите функции sin x и cos x через комплексную экспоненту.

Решение

Докажите, что для любых комплексных чисел z, w справедливо равенство e^ze^w = e^z+w.

Решение

Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу.

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC = CD, M — точка пересечения диагоналей, K — точка точка пересечения биссектрис углов A и D. Докажите, что точки A, M, K и D лежат на одной окружности.

Решение

С помощью циркуля и линейки разделите данный треугольник на три равновеликих треугольника прямыми, выходящими из одной вершины.

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по точке H пересечения его высот, центру O описанной окружности и прямой l, на которой лежит одна из его сторон.

Решение

Задача 66274

Задача 116134

Задача 116748

Задача 55586

Задача 55596