ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
![]() |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.) Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведённой из вершины прямого угла. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трём высотам.
Два выпуклых многоугольника A1A2...An и B1B2...Bn (n ≥ 4) таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго. Продолжения равных хорд AB и CD окружности соответственно за
точки B и C пересекаются в точке P. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый
многоугольник?
Докажите, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырёх сторонах пятиугольника. Концы отрезка AB принадлежат граням двугранного угла, равного ϕ . Расстояния AA1 и BB1 от точек A и B до ребра двугранного угла равны a и b соответственно, A1B1 = c . Найдите AB . Вершины A и B правильного треугольника ABC
лежат на окружности S, а вершина C — внутри этой окружности.
Точка D лежит на окружности S, причем BD = AB.
Прямая CD пересекает S в точке E. Докажите, что длина
отрезка EC равна радиусу окружности S.
На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной
линии, он пробежал 30 километров. Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.
Пусть f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
В треугольнике ABC угол A наименьший. Через вершину A проведена прямая,
пересекающая отрезок BC. Она пересекает описанную окружность в точке X, а
серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB — в точках B1 и C1.
Прямые BC1 и CB1 пересекаются в точке Y. Докажите, что BY + CY = AX.
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]
Пусть точки A*, B*, C*, D* являются образами точек A, B, C,
D при инверсии. Докажите, что:
По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри,
катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса.
Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?
В треугольнике ABC угол A наименьший. Через вершину A проведена прямая,
пересекающая отрезок BC. Она пересекает описанную окружность в точке X, а
серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB — в точках B1 и C1.
Прямые BC1 и CB1 пересекаются в точке Y. Докажите, что BY + CY = AX.
Докажите, что если a, b, c и d — длины последовательных сторон
выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n — длины его диагоналей, то
m2n2 = a2c2 + b2d2 - 2abcd cos(A + C) (Бретшнейдер).
Даны треугольник ABC и прямая l, проходящая через центр O вписанной
окружности. Обозначим через A1 (соответственно B1, C1) основание
перпендикуляра, опущенного на прямую l из точки A (соответственно B,
C), а через A2 (соответственно B2, C2) обозначим точку вписанной
окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC
(соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A1A2, B1B2, C1C2,
пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке