Каталог по темам

Задачи

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 1032]

Задача 116183

Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Покрытия	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Композиции симметрий	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Чеботарев А.С.

На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73672

Темы:	[	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Пусть a, b, c, d — длины четырёх последовательных сторон четырёхугольника, S — его площадь. Докажите неравенства:

а) S ≤ ab + cd;

б) S ≤ ac + bd.

в) Докажите, что если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырёхугольник можно вписать в окружность.

Прислать комментарий Решение

Задача 110779

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 10

Автор: Заславский А.А.

Проекции точки X на стороны четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности. Y – точка, симметричная X относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки B на прямые AX, XC, CY, YA также лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57037

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Подобные фигуры	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

Прислать комментарий Решение

Задача 58099

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 6-
Классы: 8,9,10,11

Даны две окружности, длина каждой из которых равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 1032]