Версия для печати
Убрать все задачи
48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Какое наименьшее время они затратят на работу, если каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут?
Решение
Сторона основания
ABCD правильной пирамиды
SABCD равна 2.
Плоскость
α , параллельная прямым
SC и
AD ,
пересекает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность,
причём периметр сечения равен
. Найдите:
1) в каком отношении плоскость
α делит рёбра пирамиды;
2) отношение объёмов частей, на которые плоскость
α
разбивает пирамиду;
3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до
плоскости
α .
Решение
Четыре мышонка: Белый, Серый, Толстый и Тонкий делили головку сыра. Они разрезали её на 4 внешне одинаковые дольки. В некоторых дольках оказалось больше дырок, поэтому долька Тонкого весила на 20 г меньше дольки Толстого, а долька Белого — на 8 г меньше дольки Серого. Однако Белый не расстроился, т.к. его долька весила ровно четверть от массы всего сыра.
Серый отрезал от своего куска 8 г, а Толстый — 20 г. Как мышата должны поделить образовавшиеся 28 г сыра, чтобы у всех сыра стало поровну? Не забудьте пояснить свой ответ.
Решение
Играют двое. У первого 1000 чётных карточек (2, 4, ..., 2000), у второго – 1001 нечётная (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход состоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, выкладывает одну из своих карточек, а другой, посмотрев на неё, выкладывает одну из своих карточек; тот, у кого число на карточке больше, записывает себе одно очко, а обе выложенные карточки выбрасываются. Всего получается 1000 ходов (одна карточка второго не используется). Какое наибольшее число очков может гарантировать себе каждый из игроков (как бы ни играл его соперник)?
Решение
По кругу лежит $2n + 1$ монета орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают $2n + 1$ переворот: переворачивают какую-то монету, одну монету пропускают и переворачивают следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и переворачивают следующую, и т.д., наконец пропускают 2n монет и переворачивают следующую. Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх.
Решение
Докажите, что x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx при любых x, y, z.
Решение
Вычислить 
.
Решение
Докажите, что преобразование
P числовой прямой
является проективным тогда и только тогда, когда оно
представляется в виде
P(
x) =
,
где
a,
b,
c,
d — такие числа, что
ad -
bc
0. (Такие
отображения называют
дробно-линейными.)
Решение
Фильтр
