Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Линейная и полилинейная алгебра
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 23 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Две окружности касаются описанной окружности треугольника ABC в точке K; кроме того, одна из этих окружностей касается стороны AB в точке M, а другая касается стороны AC в точке N. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на прямой MN.

Вниз   Решение

Автор: Акопян А.В.

Дано два тетраэдра A1A2A3A4 и B1B2B3B4. Рассмотрим шесть пар рёбер AiAj и BkBl, где  (i, j, k, l)  – перестановка чисел  (1, 2, 3, 4)  (например, A1A2 и B3B4). Известно, что во всех парах, кроме одной, рёбра перпендикулярны. Докажите, что в оставшейся паре рёбра тоже перпендикулярны.

ВверхВниз   Решение

На дуге CD описанной окружности квадрата ABCD взята точка P. Докажите, что  PA + PC = $ \sqrt{2}$PB.

ВверхВниз   Решение

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.

ВверхВниз   Решение

Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.

ВверхВниз   Решение

Площадь данного выпуклого четырёхугольника равна S. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Нетай И.В., Шевяков В.

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

ВверхВниз   Решение

Найдите предел последовательности, которая задана условиями

a1 = 2,        an + 1 = $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{a_n^2}{8}}$    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).


ВверхВниз   Решение

Точка M внутри выпуклого четырехугольника ABCD такова, что площади треугольников ABM, BCM, CDM и DAM равны. Верно ли, что ABCD — параллелограмм, а точка M — точка пересечения его диагоналей?

ВверхВниз   Решение

Вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1. Пусть Q — середина отрезка A1B1. Докажите, что $ \angle$B1C1C = $ \angle$QC1A1.

ВверхВниз   Решение

В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине A равны по 60o . Докажите, что AB + AC + AD BC + CD + DB .

ВверхВниз   Решение

Докажите, что сечением пирамиды ABCD плоскостью, параллельной рёбрам AC и BD , является параллелограмм, причём для одной такой плоскости этот параллелограмм будет ромбом. Найдите сторону этого ромба, если AC = a , BD = b .

ВверхВниз   Решение

В треугольнике известны две стороны a и b. Какой должна быть третья сторона, чтобы наибольший угол треугольника имел наименьшую величину?

ВверхВниз   Решение

В трапеции ABCD ( BC || AD ) известно, что AB = c и расстояние от середины отрезка CD до прямой AB равно d . Найдите площадь трапеции.

ВверхВниз   Решение

Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник, сторона которого равна 1. Основанием высоты, опущенной из вершины S , является точка O , лежащая внутри треугольника ABC . Расстояние от точки O до стороны CA равно , а расстояние от O до AB относится к расстоянию от O до BC как 3:4 . Площадь грани SBC равна . Найдите объём пирамиды.

ВверхВниз   Решение

Автор: Нилов Ф.

Точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC. Точка X такова, что  ∠AXB = ∠A'C'B' + ∠ACB  и  ∠BXC = ∠B'A'C' + ∠BAC.
Докажите, что четырёхугольник XA'BC' – вписанный.

ВверхВниз   Решение

Пусть ABCD и A1B1C1D1 — два выпуклых четырёхугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если $ \angle$A > $ \angle$A1, то $ \angle$B < $ \angle$B1, $ \angle$C > $ \angle$C1, $ \angle$D < $ \angle$D1.

ВверхВниз   Решение

Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, Z и r — центр и радиус его вписанной окружности; K — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите, что точка Z лежит на отрезке OK, причем OZ : ZK = 3R : r.

ВверхВниз   Решение

Точки A и A1, лежащие внутри окружности с центром O, симметричны относительно точки O. Лучи AP и A1P1 сонаправлены, лучи AQ и A1Q1 тоже сонаправлены. Докажите, что точка пересечения прямых P1Q и PQ1 лежит на прямой AA1. (Точки P, P1, Q и Q1 лежат на окружности.)

ВверхВниз   Решение

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиусы не меньше ½.

ВверхВниз   Решение

С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность прямоугольный треугольник, катет которого проходит через данную точку, если дан один из острых углов этого треугольника.

ВверхВниз   Решение

Автор: Солынин А.

Кристалл пирита представляет собой параллелепипед, на каждую грань которого нанесена штриховка.

На любых двух соседних гранях штриховка перпендикулярна. Существует ли выпуклый многогранник с числом граней, не равным $6$, грани которого можно заштриховать аналогичным образом?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если  6n + 11m  делится на 31, то  n + 7m  также делится на 31.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

  с решениями  

Задача 60499

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Докажите, что для нечётных чисел a, b и c имеет место равенство   (½ (b + c), ½ (a + c), ½ (a + b)) = (a, b, c).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60711

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Докажите, что если  6n + 11m  делится на 31, то  n + 7m  также делится на 31.

Прислать комментарий     Решение

Задача 32111

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Каков наибольший возможный общий делитель чисел  9m + 7n  и  3m + 2n,  если числа m и n не имеют общих делителей, кроме единицы?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64584

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Нетай И.В., Шевяков В.

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 107789

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .