Версия для печати
Убрать все задачи

---

При разложении чисел A и B в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа  A + B?

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки P и Q – середины диагоналей AC и BD соответственно. Прямая PQ пересекает стороны AB и CD в точках N и M соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ANP , BNQ , CMP и DMQ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠B = 90°)  проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H₁, B₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H₂, B₂ соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H₁BH₂. Докажите, что  OB₁ = OB₂.

   Решение

---

Докажите, что при повороте на угол с центром в начале координат точка с координатами (x, y) переходит в точку

   Решение

---

В остроугольном треугольнике KLN высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла K пересекает отрезок OH в такой точке M, что OM : MH = 3 : 1. Найдите площадь треугольника KLN, если LN = 4, а разность углов L и N равна 30^o.

   Решение

---

В треугольнике ABC угол A прямой, M – середина BC, AH – высота. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно AC, вторично пересекает описанную окружность треугольника AMC в точке P. Докажите, что отрезок BP делит отрезок AH пополам.

   Решение

---

Треугольники ABC и ABD равны, причём точки C и D не совпадают. Докажите, что прямая CD перпендикулярна прямой AB.

   Решение

---

Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещёнными. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.

   Решение

---

Точки A', B' и C' – середины сторон соответственно BC, CA и AB треугольника ABC, а BH – его высота.
Докажите, что если описанные окружности треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, то  ∠ABM = ∠CBB'.

   Решение

---

Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?

   Решение

---

M_a, M_b, M_c – середины сторон, H_a, H_b, H_c – основания высот треугольника ABC площади S.
Доказать, что из отрезков M_aH_b, M_bH_c, M_cH_a можно составить треугольник, найти его площадь.

   Решение

---

Верно ли следующее утверждение: "Если четырёхугольник имеет ось симметрии, то это либо равнобедренная трапеция, либо прямоугольник, либо ромб"?

   Решение

---

Бумажный прямоугольный треугольник АВС перегнули по прямой так, что вершина С прямого угла совместилась с вершиной В и получился четырёхугольник. В каких отношениях точка пересечения диагоналей четырёхугольника делит эти диагонали?

   Решение

---

Укажите явный вид коэффициентов в многочленах F_n(x) и L_n(x). Решите задачи 60581 и 60582, используя многочлены Фибоначчи.
Про многочлены Фибоначчи и Люка смотри статьи в справочнике.

   Решение

---

Разрежем на четыре части. Разрежьте каждую из фигур на четыре равные части (резать можно по сторонам и диагоналям клеток).

   Решение

---

Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Точки $K$, $L$, $M$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CA$ соответственно, $N$ – точка на стороне $AB$. Прямая $CN$ пересекает $KM$ и $KL$ в точках $P$ и $Q$. Точки $S$, $T$ на сторонах $AC$, $BC$ таковы, что четырехугольники $APQS$, $BPQT$ – вписанные. Докажите, что

а) если $CN$ – биссектриса, то прямые $CN$, $ML$, $ST$ пересекаются в одной точке;

б) если $CN$ – высота, то $ST$ проходит через середину $ML$.

   Решение

---

Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом T.
Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше T.

   Решение

---

Докажите, что при инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.

   Решение

---

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠ABC = 90°),  касается сторон AB, BC, AC в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A₂. A₀ – центр окружности, описанной около треугольника A₁A₂B₁; аналогично определяется точка C₀. Найдите угол A₀BC₀.

   Решение

---

Числовая последовательность определяется условиями:  
Сколько полных квадратов встречается среди первых членов этой последовательности, не превосходящих 1000000?

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $K$. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой $AK$ в два раза больше, чем расстояние от вершины $C$ до этой прямой.

   Решение

---

Каждую грань кубика разбили на четыре равных квадрата и раскрасили эти квадраты в три цвета так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета. Докажите, что в каждый цвет покрашено по 8 квадратиков.

   Решение

---

Докажите, что при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

   Решение

---

Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на n-ом году роста первоначального растения?

   Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 233]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61468  [Многочлены Фибоначчи и Люка]

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Специальные многочлены (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка (определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь). Какие значения эти многочлены принимают при x = 1? Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями:
  а)  L_n(x) = F_n–1(x) + F_n+1(x)  (n ≥ 1);
  б)  F_n(x)(x² + 4) = L_n–1(x) + L_n+1(x)  (n ≥ 1);
  в)  F_2n(x) = L_n(x)F_n(x)  (n ≥ 0);
  г)  (L_n(x))² + (L_n+1(x))² = (x² + 4)F_2n+1(x)  (n ≥ 0);
  д)  F_n+2(x) + F_n–2(x) = (x² + 2)F_n(x).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61472

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Специальные многочлены (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Укажите явный вид коэффициентов в многочленах F_n(x) и L_n(x). Решите задачи 60581 и 60582, используя многочлены Фибоначчи.
Про многочлены Фибоначчи и Люка смотри статьи в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61476

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на n-ом году роста первоначального растения?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61503

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что бесконечная сумма

сходится к рациональному числу.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78272

Темы:   [ Рекуррентные соотношения ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дан произвольный набор из +1 и -1 длиной 2^k. Из него получается новый по следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним; последнее 2^k-тое число умножается на первое. С новым набором из 1 и -1 проделывается то же самое и т.д. Доказать, что в конце концов получается набор, состоящий из одних единиц.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 233]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями