Через ортоцентр остроугольного треугольника проведены две перпендикулярные прямые. Стороны треугольника высекают на каждой из этих прямых два отрезка: один, лежащий внутри треугольника, второй – вне его. Докажите, что произведение двух внутренних отрезков равно произведению двух внешних.

   Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 512]      

Через ортоцентр остроугольного треугольника проведены две перпендикулярные прямые. Стороны треугольника высекают на каждой из этих прямых два отрезка: один, лежащий внутри треугольника, второй – вне его. Докажите, что произведение двух внутренних отрезков равно произведению двух внешних.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно, $AB < AC$. Прямая, проходящая через середину $K$ отрезка $AH$ и перпендикулярная $OK$, пересекает сторону $AB$ и касательную к описанной окружности в точке $A$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XOY=\angle AOB$.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) пересекаются в точке $O$. На отрезках $BC$ и $AD$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$. К окружности $AMC$ проведена касательная из $C$ до пересечения с лучом $NB$ в точке $P$; к окружности $BND$ из $D$ проведена касательная до пересечения с лучом $MA$ в точке $R$. Докажите, что $\angle BOP=\angle AOR$.

Прислать комментарий

Решение

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AC, AB и BC в точках K, M и N соответственно. Медиана BB₁ треугольника пересекает MN в точке D. Докажите, что точка O лежит на прямой DK.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD на сторонах AB и BC нашлись такие точки K и L соответственно, что  ∠ADK = ∠CDL.  Отрезки AL и CK пересекаются в точке P. Докажите, что  ∠ADP = ∠BDC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 512]