Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 114]
|
[Задача о бабочке]
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть A – основание перпендикуляра, опущенного из центра
данной окружности на данную прямую l. На этой прямой взяты еще две
точки B и C так, что
AB = AC. Через точки B и C проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках P и Q, вторая – в точках M и N. Пусть прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.
|
|
|
Сложность: 7
Классы: 9,10,11
|
Пусть
l1,
l2, ...,
ln — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке
X1,
X2, ...,
Xn так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой
lk в точке
Xk (для любого натурального
k < n), проходил через точку
Xk + 1, а перпендикуляр, восставленный к прямой
ln в
точке Xn, проходил через
точку X1.
Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω1 и ω2. Окружность ω с центром O пересекает ω1 в точках A и B, а ω2 – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Дан треугольник ABC. Точка K – основание биссектрисы внешнего угла A. Точка M – середина дуги AC описанной окружности. Точка N выбрана на биссектрисе угла C так, что AN || BM. Докажите, что точки M, N и K лежат на одной прямой.
Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 114]
Фильтр
Решение 
