Каталог по темам

Задачи

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 128]

Задача 65371

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Якубов А., Крутовский Р.

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I₁ и I₂ соответственно. Прямая I₁I₂ пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66274

Темы:	[	Построение треугольников по различным точкам	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Проективные преобразования плоскости	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Заславский А.А.

Постройте треугольник по вершине A, центру O описанной окружности и точке Лемуана L.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64476

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Стереографическая проекция	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Ясинский В.

Дана окружность ω и точка A вне её. Через A проведены две прямые, одна из которых пересекает ω в точках B и C, а другая – в точках D и E (D лежит между A и E). Прямая, проходящая через D и параллельная BC, вторично пересекает ω в точке F, а прямая AF – в точке T. Пусть M – точка пересечения прямых ET и BC, а N – точка, симметричная A относительно M. Докажите, что описанная окружность треугольника DEN проходит через середину отрезка BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65021

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Пусть A₂, B₂ – середины отрезков B₁C₁, A₁C₁ соответственно, O – центр описанной окружности треугольника ABC, P – одна из точек пересечения прямой CO с вписанной окружностью. Прямые PA₂ и PB₂ вторично пересекают вписанную окружность в точках A' и B'. Докажите, что прямые AA' и BB' пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53134

[Задача о бабочке]

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Пусть A – основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую l. На этой прямой взяты еще две точки B и C так, что
AB = AC. Через точки B и C проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках P и Q, вторая – в точках M и N. Пусть прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 128]