Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?

Вниз   Решение


a, b, c – такие три числа, что  abc > 0  и  a + b + c > 0.  Доказать, что  an + bn + cn > 0  при любом натуральном n.

ВверхВниз   Решение


Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 3$ \sqrt{39}$ и BC = $ \sqrt{39}$. Кроме того дано, что угол BAD равен 30o, а угол ADC равен 60o. Через точку D проходит прямая, делящая трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите длину отрезка этой прямой, находящегося внутри трапеции.

ВверхВниз   Решение


В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.

ВверхВниз   Решение


Докажите равенство:

arctg 1 + arctg $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ + arctg $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{3}}$ = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$.


ВверхВниз   Решение


Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если  a, b, c, d, x, y, u, v  – вещественные числа и  abcd > 0,  то

(ax + bu)(av + by)(cx + dv)(cu + dy) ≥ (acuvx + bcuxy + advxy + bduvy)(acx + bcu + adv + bdy).

ВверхВниз   Решение


В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AA1, BB1 и CC1. Площадь треугольника ABC относится к площади треугольника A1B1C1 как $ {\frac{9}{2}}$. Найдите отношение периметра треугольника A1B1C1 к периметру треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


На сторонах AB, BC, CD, DA прямоугольника ABCD взяты соответственно точки K, L, M, N, отличные от вершин. Известно, что   KL || MN  и
KMNL.  Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN лежит на диагонали BD прямоугольника.

ВверхВниз   Решение


Окружность касается одной стороны прямого угла с вершиной O и пересекает вторую сторону в точках A и B. Найдите радиус окружности, если OA = a и OB = b.

ВверхВниз   Решение


Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение радиуса вписанной окружности к расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей равно равно m. Найдите углы треугольника.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведены биссектриса CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь четырёхугольника ADOE, зная, что BC = a, AC = b.

ВверхВниз   Решение


В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны   и  .  Найдите гипотенузу треугольника.

ВверхВниз   Решение


Автор: Тригуб А.

В четырёхугольнике ABCD  ∠B = ∠D = 90°  и  AC = BC + DC.  Точка P на луче BD такова, что  BP = AD.
Докажите, что прямая CP параллельна биссектрисе угла ABD.

ВверхВниз   Решение


Автор: Тригуб А.

В треугольнике ABC N – середина дуги ABC описанной окружности треугольника, NP и NT – касательные к вписанной окружности. Прямые BP и BT пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках P1 и T1 соответственно. Докажите, что PP1=TT1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 >> [Всего задач: 772]      



Задача 54540

Темы:   [ Метод ГМТ ]
[ Признаки и свойства касательной ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой данный круг и данный отрезок видны под данными углами.

Прислать комментарий     Решение


Задача 55504

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен a.

Прислать комментарий     Решение


Задача 66778

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Тригуб А.

В треугольнике ABC N – середина дуги ABC описанной окружности треугольника, NP и NT – касательные к вписанной окружности. Прямые BP и BT пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках P1 и T1 соответственно. Докажите, что PP1=TT1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 102448

Темы:   [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 4$ \sqrt{3}$, радиус вписанной окружности равен 3. Прямая AE пересекает высоту BD в точке E, а вписанную окружность — в точках M и N (M лежит между A и E), ED = 2. Найдите EN.

Прислать комментарий     Решение


Задача 102449

Темы:   [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В равнобедренную трапецию KLMN ( LM$ \Vert$KN) вписана окружность, касающася сторон LM и KN в точках P и Q соответственно, KN = 4$ \sqrt{6}$, PQ = 4. Прямая CN пересекает отрезок PQ в точке C, а вписанную окружность — в точках A и B (A между N и C), PC : CQ = 3. Найдите AC.

Прислать комментарий     Решение


Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 >> [Всего задач: 772]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .