Версия для печати
Убрать все задачи

---

В окружности радиуса R проведены хорда AB и диаметр AC. Хорда PQ, перпендикулярная диаметру AC, пересекает хорду AB в точке M. Известно, что AB = a, PM : MQ = 3. Найдите AM.

   Решение

---

Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5?

   Решение

---

Два равносторонних треугольника ABC и CDE расположены по одну сторону от прямой AE и имеют единственную общую точку C. Пусть M, N и K – середины отрезков BD, AC и CE соответственно. Докажите, что треугольник MNK равносторонний.

   Решение

---

Пусть a – положительный корень уравнения  x²⁰¹⁷ – x – 1 = 0,  а b – положительный корень уравнения  y⁴⁰³⁴ – y = 3a.
  а) Сравните a и b.
  б) Найдите десятый знак после запятой числа  |a – b|.

   Решение

---

Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании.
Найдите стороны трапеции, если её высота равна 12, а длины биссектрис равны 15 и 13.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте ромб по данному отношению диагоналей и данной стороне.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте параллелограмм по основанию, высоте и углу между диагоналями.

   Решение

---

Дан треугольник со сторонами 12, 15, 18. Проведена окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на большой стороне. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

   Решение

---

В прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 вписали окружность. Через точки её касания с его катетами провели прямую.
Отрезок какой длины может высекать на этой прямой окружность, описанная около исходного треугольника?

   Решение

---

Точки A₁ и B₁ принадлежат сторонам соответственно OA и OB угла AOB, не равного 180^o, и OA ^. OA₁ = OB ^. OB₁. Докажите, что точки A, B, A₁, B₁ принадлежат одной окружности.

   Решение

---

На бесконечной ленте выписаны в ряд числа. Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи. Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на 9·1000¹⁰⁰⁰-м месте?

   Решение

---

Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешним образом. Найдите радиусы окружностей, касающихся обеих данных окружностей и их общей внешней касательной.

   Решение

---

Восстановите равнобедренный треугольник ABC  (AB = AC)  по точкам I, M, H пересечения биссектрис, медиан и высот соответственно.

   Решение

---

Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2$n$ кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
  а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
  б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?

   Решение

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 258]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65067

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На бесконечной ленте выписаны в ряд числа. Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи. Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на 9·1000¹⁰⁰⁰-м месте?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66091

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Классические неравенства (прочее) ] [ Разложение на множители ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть a – положительный корень уравнения  x²⁰¹⁷ – x – 1 = 0,  а b – положительный корень уравнения  y⁴⁰³⁴ – y = 3a.
  а) Сравните a и b.
  б) Найдите десятый знак после запятой числа  |a – b|.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66839

Темы:   [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2$n$ кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
  а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
  б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107831

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

2n шахматистов дважды провели круговой турнир (за победу начисляется одно очко, за ничью – ½, за поражение – 0).
Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее чем на n, то она изменилась ровно на n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108484

Темы:   [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Формула Герона ] [ Неравенство Коши ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2p равносторонний имеет наибольшую плошадь.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 258]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями