Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Последовательности
>>
Прогрессии
>>
Арифметическая прогрессия
Фильтр
Выбрано 20 задач Убрать все задачи
Сумма n последовательных натуральных чисел – простое число. Найдите все n, при которых это возможно.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C$ прямой) $BC=2AC$, $CH$ – высота, $O_1$ и $O_2$ – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники $ACH$ и $BCH$, а $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Пусть $H_1$, $H_2$ и $H_0$ – проекции точек $O_1$, $O_2$ и $O$ на гипотенузу. Докажите, что $H_1H=HH_0=H_0H_2$.
Дано несколько выпуклых многоугольников, причем
нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни
одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал
хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники
можно заключить в многоугольник, периметр которого
не превосходит суммы их периметров.
Незнайка рисует замкнутые пути внутри прямоугольника 5×8, идущие по диагоналям прямоугольников 1×2. На рисунке изображён пример пути, проходящего по 12 таким диагоналям. Помогите Незнайке нарисовать путь как можно длиннее.
На двух параллельных прямых a и b выбраны точки A1, A2, ..., Am и B1, B2, ..., Bn
соответственно и проведены все отрезки вида AiBj
(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n). Сколько будет точек пересечения, если известно, что никакие три из этих отрезков в одной точке не пересекаются?
Какое наименьшее натуральное число не является делителем 50!?
В центре квадратного пруда плавает ученик. Внезапно к вершине квадрата подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?
В треугольнике ABC AB = AC, угол A – тупой, BD – биссектриса, AM – высота, E – основание перпендикуляра, опущенного из D на сторону BC. Из точки D восставлен перпендикуляр к BD, который пересекает сторону BC в точке F. Известно, что ME = FC = a. Найдите площадь треугольника ABC.
С помощью циркуля и линейки по данному отрезку a, постройте отрезок b, где
а)
a = , b = 1;
б) a = 7,
b = .
Когда мальчик Клайв подошел к дедушкиным настенным часам с кукушкой, на них было 12 часов 5 минут. Клайв стал крутить пальцем минутную стрелку, пока часовая не вернулась на прежнее место. Сколько "ку-ку" насчитал за это время дедушка в соседней комнате?
Сторона AD прямоугольника ABCD в три раза больше стороны AB. Точки M и N делят AD на три равные части. Найдите ∠AMB + ∠ANB + ∠ADB.
Известно, что в выпуклом n-угольнике (n > 3) никакие три диагонали не проходят через одну точку.
Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.
Можно ли через вершины куба провести 8 параллельных плоскостей так, чтобы расстояния между соседними плоскостями были равны?
Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?
Предположим, что нашлись 15 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью d. Докажите, что d > 30000.
Внутри выпуклого n-угольника
A1A2...An взята
точка O так, что
+...+
=
.
Пусть
d = OA1 +...+ OAn. Докажите, что периметр многоугольника
не меньше 4d /n при n четном и не меньше
4dn/(n2 - 1) при n
нечетном.
В прямоугольном треугольнике катеты равны 75 и 100. На отрезках гипотенузы, образуемых основанием высоты, построены полуокружности по одну сторону с данным треугольником. Найдите отрезки катетов, заключённые внутри полукругов.
В лесу живёт 40 зверей – лисицы, волки, зайцы и барсуки. Ежегодно они устраивают бал-маскарад: каждый надевает маску животного другого вида, причём два года подряд они одну и ту же маску не носят. Два года назад на балу было 12 "лисиц" и 28 "волков", год назад – 15 "зайцев", 10 "лисиц" и 15 "барсуков", а в этом году – 15 "зайцев" и 25 "лисиц". Каких зверей в лесу больше всего?
Сторона AB треугольника ABC равна 1. На стороне AB как на диаметре построена окружность, которая делит сторону AC точкой D пополам, а сторону BC точкой E в отношении BE : EC = 7 : 2. Найдите сторону AC.
Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг, 374 кг, ..., 468 кг (арифметическая прогрессия с разностью 2 кг), на семи трёхтонках?
Задачи Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 133]
Задача 65391 |
|
|
Сто натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, что каждые два из этих чисел взаимно просты?
|
|
Решение |
Задача 65985 |
|
|
(sin x, sin y, sin z) – возрастающая арифметическая прогрессия. Может ли последовательность (cos x, cos y, cos z) также являться арифметической прогрессией?
|
|
|
Решение |
Задача 66094 |
|
|
Даны две непостоянные прогрессии (an) и (bn), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что a1 = b1, a2 : b2 = 2 и
a4 : b4 = 8. Чему может быть равно отношение a3 : b3?
|
|
|
Решение |
Задача 66179 |
|
|
Даны две бесконечные прогрессии: арифметическая a1, a2, a3, ... и геометрическая b1, b2, b3, ..., причём все числа, которые встречаются среди членов геометрической прогрессии, встречаются также и среди членов арифметической прогрессии. Докажите, что знаменатель геометрической прогрессии – целое число.
|
|
|
Решение |
Задача 73671 |
|
|
Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг, 374 кг, ..., 468 кг (арифметическая прогрессия с разностью 2 кг), на семи трёхтонках?
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 133]
