ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи
В окружность радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что
Пусть A, B и C – три числа, большие 0 и меньшие 1, K – наибольшее из них. Докажите, что 1 – (1 – A)(1 – B)(1 – C) > K. Сто положительных чисел C1, C2, ..., C100 удовлетворяют условиям Центр окружности ω2 лежит на окружности ω1. Из точки X окружности ω1 проведены касательные XP и XQ к окружности ω2 (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω1 в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS. На данной окружности выбраны диаметрально противоположные точки A и B и третья точка C. Касательная, проведённая к окружности в точке A, и прямая BC пересекаются в точке M. Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке C, делит пополам отрезок AM. Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя? Дано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, среди оставшихся найдётся такое четвёртое, что сумма этих четырёх чисел будет положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна? Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу 61333) применить для приближенного нахождения корней многочлена x² – x – 1. Какие последовательности будут сходиться к корням x1 и x2, если |x1| > |x2|? Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было? Доказать, что для любых чисел a1, ..., a1987 и положительных чисел b1,..., b1987 справедливо неравенство
На плоскости даны точки A и B. Найдите геометрическое место
точек C, для которых
а) остроугольный; б) тупоугольный.
a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств Дано 1989 чисел. Известно, что сумма любых десяти из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна. Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач,
сколько все остальные в сумме – во второй день. Мальвина велела Буратино разрезать квадрат на 7 прямоугольников (необязательно различных), у каждого из которых одна сторона в два раза больше другой. Выполнимо ли это задание? а) Докажите, что б) Найдите эти представления в явном виде для n = 2, 3, 4, 5. в) Выразите sinnx при чётном n в виде Вычислите суммы: Известно, что sin α = 3/5. Докажите, что sin 25α имеет вид n/525, где n – целое, не делящееся на 5. а) Докажите равенство: cos φ + ... + cos nφ = Пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена (см. задачу 61013), докажите, что если p/q рационально и cos (p/q)° ≠ 0, ±½, ±1, то Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что EK || AB и найдите площадь трапеции ABKE. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 4. На середине ребра BC взята точка M , а на ребре A1D1 на расстоянии 1 от вершины A1 взята точка N . Найдите длину кратчайшего пути между точками M и N по поверхности куба. Докажите, что окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину основания. Обозначим через a наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно полностью покрыть заданный многоугольник M, через b — наибольшее число непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами внутри многоугольника M. Какое из чисел больше, a или b? |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]
Петя отметил на плоскости несколько (больше двух) точек, все расстояния между которыми различны. Пару отмеченных точек (A, B) назовём необычной, если A – самая дальняя от B отмеченная точка, а B – ближайшая к A отмеченная точка (не считая самой точки A). Какое наибольшее возможное количество необычных пар могло получиться у Пети?
В прямоугольном листе бумаги сделали несколько непересекающихся круглых дыр. На дырявом листке отметили две точки, находящиеся на расстоянии d друг от друга. Докажите, что на дырявом листке можно нарисовать кривую длины меньше 1,6d, соединяющую данные точки.
Обозначим через a наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно полностью покрыть заданный многоугольник M, через b — наибольшее число непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами внутри многоугольника M. Какое из чисел больше, a или b?
Города A , B , C и D расположены так, что расстояние от C до A меньше, чем расстояние от D до A , а расстояние от C до B меньше, чем расстояние от D до B . Докажите, что расстояние от города C до любой точки прямолинейной дороги, соединяющей города A и B , меньше, чем расстояние от D до этой точки.
Обозначим через a наибольшее число непересекающихся кругов диаметра 1, центры которых лежат внутри многоугольника M, через b — наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно покрыть весь многоугольник M. Какое число больше: a или b?
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке