Версия для печати
Убрать все задачи

---

Прямые, касающиеся окружности с центром O в точках A и B, пересекаются в точке M. Найдите хорду AB, если отрезок MO делится ею на отрезки, равные 2 и 18.

   Решение

---

Точка внутри выпуклого четырёхугольника соединена с вершинами. Получились четыре равных треугольника.
Верно ли, что четырёхугольник – ромб?

   Решение

---

Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию:  q = p + d,  r = p + 2d.  Докажите, что d делится на 6.

   Решение

---

а) Из какого минимального числа кусков проволоки можно спаять каркас куба?
б) Какой максимальной длины кусок проволоки можно вырезать из этого каркаса? (Длина ребра куба равна 1 см.)

   Решение

---

Точка M делит сторону BC треугольника ABC в отношении BM : MC = 2 : 5, Известно, что = , = . Найдите вектор .

   Решение

---

Решите уравнение

   Решение

---

В хоккейном турнире принимают участие n команд. Каждая команда встречается с каждой по одному разу, при этом выигравшей команде присуждается 2 очка, сыгравшей вничью – 1, проигравшей – 0 очков. Какой максимальный разрыв в очках может быть между командами, занявшими соседние места?

   Решение

---

Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.

   Решение

---

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos(/2)sin(/2)sin(/2) = (p - a)/4R;
б)  sin(/2)cos(/2)cos(/2) = r_a/4R.

   Решение

---

Группа восьмиклассников решила поехать во время каникул на экскурсию в Углич. Ежемесячно каждый ученик вносил определённое количество рублей (без копеек), одинаковое для всех, и в течение пяти месяцев было собрано 49685 руб. Сколько было в группе учеников и какую сумму внёс каждый?

   Решение

---

  Одноклассники Аня, Боря и Вася живут на одной лестничной клетке. В школу они идут с постоянными, но различными скоростями, не оглядываясь и не дожидаясь друг друга. Но если кто-то из них успевает догнать другого, то дальше он замедляется, чтобы идти вместе с тем, кого догнал.
  Однажды первой вышла Аня, вторым Боря, третьим Вася, и какие-то двое из них пришли в школу вместе. На следующий день первым вышел Вася, вторым Боря, третьей Аня. Могут ли все трое прийти в школу вместе?

   Решение

---

Докажите, что h_a = bc/2R.

   Решение

---

На сколько нулей оканчивается число 100!?

   Решение

---

В левом нижнем углу клетчатой доски n×n стоит конь. Известно, что наименьшее число ходов, за которое конь может дойти до правого верхнего угла, равно наименьшему числу ходов, за которое он может дойти до правого нижнего угла. Найдите n.

   Решение

---

К окружности проведены касательные, касающиеся её в концах диаметра AB. Произвольная касательная к окружности пересекает эти касательные в точках K и M. Докажите, что произведение AK ^. BM постоянно.

   Решение

---

(sin x, sin y, sin z)  – возрастающая арифметическая прогрессия. Может ли последовательность  (cos x, cos y, cos z)  также являться арифметической прогрессией?

   Решение

---

30 человек голосуют по пяти предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует только за одно предложение и учитывается лишь количество голосов, поданных за каждое предложение?

   Решение

---

Из первых k простых чисел  2, 3, 5, ..., p_k  (k > 5)  составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например,  3·5, 3·7·... ·p_k, 11  и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через S. Доказать, что  S + 1  разлагается в произведение более 2k простых сомножителей.

   Решение

---

В параллелограмме лежат две окружности, касающиеся друг друга и трёх сторон параллелограмма каждая. Радиус одной из окружностей равен 1. Известно, что один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания равен . Найдите площадь параллелограмма.

   Решение

---

Даны две непостоянные прогрессии (a_n) и (b_n), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что  a₁ = b₁,  a₂ : b₂ = 2  и
a₄ : b₄ = 8.  Чему может быть равно отношение  a₃ : b₃?

   Решение

---

В таблице
    0 1 2 3 ... 9
    9 0 1 2 ... 8
    8 9 0 1 ... 7
        ...
    1 2 3 4 ... 0
отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.
Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.

   Решение

Страница: << 90 91 92 93 94 95 96 >> [Всего задач: 1119]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97857

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Правило произведения ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Перебор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На фестивале камерной музыки собралось шесть музыкантов. На каждом концерте часть музыкантов выступает, а остальные слушают их из зала. За какое наименьшее число концертов каждый из шести музыкантов сможет послушать (из зала) всех остальных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98067

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Квадрат 8×8 клеток выкрашен в белый цвет. Разрешается выбрать в нём любой прямоугольник из трёх клеток и перекрасить все их в противоположный цвет (белые в чёрный, чёрные – в белый). Удастся ли несколькими такими операциями перекрасить весь квадрат в чёрный цвет?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98188

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Отношение порядка ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98197

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу  5×5  так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.
Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98212

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В таблице
    0 1 2 3 ... 9
    9 0 1 2 ... 8
    8 9 0 1 ... 7
        ...
    1 2 3 4 ... 0
отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.
Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 90 91 92 93 94 95 96 >> [Всего задач: 1119]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями