Каталог по темам

Задачи

Страница: << 209 210 211 212 213 214 215 >> [Всего задач: 1337]

Задача 108204

Темы:	[	Неравенства с медианами	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Терешин Д.А.

Пусть a , b и c – стороны треугольника, m_a , m_b и m_c – медианы, проведённые к этим сторонам, D – диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что

+ + 6D.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67343

Темы:	[	Преобразования плоскости (прочее)	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Терешин А.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Точка $T$ на прямой $BC$ выбрана так, что прямая $AT$ касается $\omega$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$, а окружность $\omega$ в точке $A_0$. Прямая $TA_0$ пересекает $\omega$ в точке $P$. Точка $K$ на отрезке $BC$ такова, что $BL=CK$. Докажите, что $\angle BAP=\angle CAK$.

Прислать комментарий Решение

Задача 57076

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Тригонометрический круг	]

Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что при n ≥ 6 правильный (n–1)-угольник нельзя так вписать в правильный n-угольник, чтобы на всех сторонах n-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (n–1)-угольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64404

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]

Сложность: 5

Автор: Белухов Н.

Дан бумажный треугольник, площадь которого равна ½, а квадраты всех сторон – целые числа.
Докажите, что в него можно завернуть квадрат с площадью ¼ (треугольник можно сгибать, но нельзя резать).

Прислать комментарий

Решение

Задача 108142

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянова Т.

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 209 210 211 212 213 214 215 >> [Всего задач: 1337]