Каталог по темам

Задачи

Страница: << 156 157 158 159 160 161 162 >> [Всего задач: 1460]

Задача 57003

Темы:	[	Частные случаи треугольников (прочее)	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что если ∠A = 45°, то B₁C₁ – диаметр окружности девяти точек треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57147

Темы:	[	ГМТ и вписанный угол	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На окружности фиксированы точки A и B, а точка C перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения: а) высот; б) биссектрис треугольников ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 64414

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+

Докажите, что прямая Эйлера треугольника ABC (см. задачу 55595) проходит через центр окружности девяти точек (см. задачу 52511).

Прислать комментарий

Решение

Задача 64567

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
Темы:	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На равных сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что AC = CM и MN = NB. Высота треугольника, проведенная из вершины B, пересекает отрезок CM в точке H. Докажите, что NH – биссектриса угла MNC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64588

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Пусть K, L, M, N – середины соответственно сторон AB, BC, CD, AD.
Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников PKL, PLM, PMN и PNK равны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 156 157 158 159 160 161 162 >> [Всего задач: 1460]