Страница: << 114 115 116 117 118 119 120 >> [Всего задач: 1275]      

Из точки K, находящейся вне окружности с центром O, проведены две касательные KL и KM (L и M — точки касания). Отрезок KO пересекается с окружностью в точке N и с отрезком LM в точке P. Прямая MN пересекает отрезок KL в точке Q. Известно, что площади треугольников KNO и LNP равны. Найдите отношение длин отрезков KM и MN.

Прислать комментарий

Решение

Через точку A общей хорды BC пересекающихся окружностей проведена прямая, пересекающая окружности в таких точках D и E соответственно, что прямая BD касается одной окружности, а прямая BE – другой. Продолжение хорды CD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.
  а) Найдите отношение  BD : BE,  если  AD = 8  и  AE = 2.
  б) Сравните площади треугольников BDE и BDF.

Прислать комментарий

Решение

Назовем тропинкой замкнутую траекторию на плоскости, состоящую из дуг окружностей и проходящую через каждую свою точку ровно один раз. Приведите пример тропинки и такой точки M на ней, что любая прямая, проходящая через M, делит тропинку пополам, то есть сумма длин всех кусков тропинки в одной полуплоскости равна сумме длин всех кусков тропинки в другой полуплоскости.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K. На боковых сторонах трапеции, как на диаметрах, построены окружности. Точка K лежит вне этих окружностей. Докажите, что длины касательных, проведённых к этим окружностям из точки K, равны.

Прислать комментарий

Решение

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Прямые AC и BC вторично пересекают окружность, проходящую через точки A, O и B, в точках E и K. Докажите, что прямые OC и EK перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 114 115 116 117 118 119 120 >> [Всего задач: 1275]