Страница: << 126 127 128 129 130 131 132 >> [Всего задач: 1275]      

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает прямые BC и CD в точках X и Y . Точка A' симметрична точке A относительно прямой BD . Докажите, что точки C , X , Y и A' лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC . Прямая BO вторично пересекает описанную окружность в точке D , а продолжение высоты, опущенной из вершины A , пересекает окружность в точке E . Докажите, что площадь четырёхугольника BECD равна площади треугольника ABC .

Прислать комментарий

Решение

На отрезке AC как на основании в разных полуплоскостях построены равнобедренные треугольники ABC и ADC , причём ADC = 3 ACB . AE – биссектриса треугольника ABC , отрезки DE и AC пересекаются в точке F . Докажите, что треугольник CEF – равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Центры четырёх окружностей S1 , S2 , S3 и S4 лежат на окружности S . Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A1 и B1 , S2 и S3 – в точках A2 и B2 , S3 и S4 – в точках A3 и B3 , окружности S4 и S1 – в точках A4 и B4 , причём точки A1 , A2 , A3 и A4 лежат на окружности S , а точки B1 , B2 , B3 и B4 различны и лежат внутри S . Докажите, что B1B2B3B4 – прямоугольник.

Прислать комментарий

Решение

Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω₁ и ω₂, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω₁ и ω₂, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω₁ и ω₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 126 127 128 129 130 131 132 >> [Всего задач: 1275]