Каталог по темам

Задачи

Страница: << 209 210 211 212 213 214 215 >> [Всего задач: 2266]

Задача 64884

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Авторы: Полянский Н., Скробот Д.

В четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω₁ треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E₁ и F₁. Докажите, что прямые EF и E₁F₁ параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64977

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром I, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром J. Докажите, что O – середина отрезка IJ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65046

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Теорема о группировке масс	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Заславский А.А., Белухов Н.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда IM : AC = IN : BD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66267

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Точка Нагеля. Прямая Нагеля	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Фролов И.И.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Окружность ω касается отрезка MA в точке P, отрезка MD в точке Q и описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD в точке X. Докажите, что X лежит на радикальной оси описанных окружностей ω_Q и ω_P треугольников ACQ и BDP.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108248

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD провели биссектрисы l_a, l_b, l_c и l_d внешних углов при вершинах A, B, C и D соответственно. Точки пересечения прямых l_a и l_b, l_b и l_c, l_c и l_d, l_d и l_a обозначили через K, L, M и N. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки K на AB, из L на BC, из M на CD пересекаются в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 209 210 211 212 213 214 215 >> [Всего задач: 2266]