Каталог по темам

Задачи

Страница: << 310 311 312 313 314 315 316 >> [Всего задач: 2266]

Задача 55782

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Центр масс	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Купцов Л.

На плоскости расположены три окружности Ω₁, Ω₂, Ω₃ радиусов r₁, r₂, r₃ соответственно – каждая вне двух других, причём r₁ > r₂ и r₁ > r₃. Из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω₁ и Ω₂ проведены касательные к окружности Ω₃, а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω₁ и Ω₃ проведены касательные к окружности Ω₂. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56570

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Окружность S₁ касается сторон угла ABC в точках A и C. Окружность S₂ касается прямой AC в точке C и проходит через точку B, окружность S₁ она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 56681

Темы:	[	Три окружности одного радиуса	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Удвоение медианы	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Три окружности радиуса R проходят через точку H; A, B и C — точки их попарного пересечения, отличные от H. Докажите, что:
а) H — точка пересечения высот треугольника ABC;
б) радиус описанной окружности треугольника ABC тоже равен R.

Прислать комментарий Решение

Задача 56786

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Отрезок MN, параллельный стороне CD четырехугольника ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведенных из точек A и B параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и b. Докажите, что MN² = (ab + c²)/2, где c = CD.

Прислать комментарий Решение

Задача 57200

Темы:	[	Метод ГМТ	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Дан четырёхугольник ABCD. Впишите в него параллелограмм с заданными направлениями сторон.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 310 311 312 313 314 315 316 >> [Всего задач: 2266]