Каталог по темам

Задачи

Страница: << 313 314 315 316 317 318 319 >> [Всего задач: 2266]

Задача 66978

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Решение задач при помощи аффинных преобразований	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Биссектриса угла $C$ пересекает прямые $A_0C_0$ и $B_0C_0$ в точках $B_1$ и $A_1$. Докажите, что прямые $AB_1$, $BA_1$ и $A_0B_0$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66979

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кноп К.А., Челноков Г.Р.

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ ($AB>AC$) пересекает описанную окружность в точке $P$. Перпендикуляр к $AC$ в точке $C$ пересекает биссектрису угла $A$ в точке $K$. Окружность с центром в точке $P$ и радиусом $PK$ пересекает меньшую дугу $PA$ описанной окружности в точке $D$. Докажите, что в четырехугольник $ABDC$ можно вписать окружность.

Прислать комментарий Решение

Задача 67052

Темы:	[	Подобие	]
	[	Параллелограммы (прочее)	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кноп К.А.

Параллелограмм $ABCD$ разделён диагональю $BD$ на два равных треугольника. В треугольник $ABD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние стороны лежат на $AB$ и $AD$, а одна из вершин – на $BD$. В треугольник $CBD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние вершины лежат на $CB$ и $CD$, а одна из сторон – на $BD$. Какой из шестиугольников больше?

Прислать комментарий

Решение

Задача 67433

Темы:	[	Окружности (прочее)	]
Темы:	[	Описанные четырехугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кухарчук И., Соколов А.

Даны две равные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$. На отрезке $O_1O_2$ взяты точки $X$ и $Y$ так, что $O_1Y = O_2X$. Точки $A$ и $B$ лежат на $\omega_1$, и прямая $AB$ проходит через $X$. Точки $C$ и $D$ лежат на $\omega_2$, и прямая $CD$ проходит через $Y$. Докажите, что существует окружность, касающаяся прямых $AO_1$, $BO_1$, $CO_2$ и $DO_2$.

Прислать комментарий

Решение

Задача 102441

Темы:	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Пусть M – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором стороны AB, AD и BC равны между собой.
Найдите угол CMD, если известно, что DM = MC, а ∠CAB ≠ ∠DBA.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 313 314 315 316 317 318 319 >> [Всего задач: 2266]