Каталог по темам

Задачи

Страница: << 312 313 314 315 316 317 318 >> [Всего задач: 2266]

Задача 65095

Темы:	[	Четырехугольник (неравенства)	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором AB = CD, выбрана точка P таким образом, что сумма углов PBA и PCD равна 180°.
Докажите, что PB + PC < AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65229

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Якубов А.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота AH. На сторонах AC и AB отмечены точки B₁ и C₁ соответственно, так, что HA – биссектриса угла B₁HC₁ и четырёхугольник BC₁B₁C – вписанный. Докажите, что B₁ и C₁ – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65256

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Точка Лемуана	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Кунгожин М.

Неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательная к этой окружности в точке C пересекает прямую AB в точке D. Пусть I – центр вписанной окружности, треугольника ABC. Прямые AI и BI пересекают биссектрису угла CDB в точках Q и P соответственно. Пусть M – середина отрезка PQ. Докажите, что прямая MI проходит через середину дуги ACB окружности ω.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65690

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Бегунц А.В., Гашков С.Б.

Можно ли отметить k вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если: а) k = 6; б) k ≥ 7?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65712

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором ∠DAB = 90°. Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что ∠ADB = ∠CAM.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 312 313 314 315 316 317 318 >> [Всего задач: 2266]