Страница:
<< 421 422 423 424
425 426 427 >> [Всего задач: 2266]
а) Дан выпуклый многоугольник A1A2...An. На стороне A1A2 взяты точки B1 и D2, на стороне A2A3 – точки B2 и D3, ..., на стороне AnA1 – точки Bn и D1 так, что если построить параллелограммы A1B1C1D1, A2B2C2D2, ..., AnBnCnDn, то прямые A1C1, A2C2, ..., AnCn пересекутся в одной точке. Докажите равенство A1B1·A2B2·...·AnBn = A1D1·A2D2·...·AnDn.
б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне
A1A2 выбраны точки
B1 и
D2, на стороне
A2A3 – точки
B2 и
D3, а на стороне
A3A1 – точки
B3 и
D1 так, что
A1B1·
A2B2·
A3B3 =
A1D1·
A2D2·
A3D3, то, построив параллелограммы
A1B1C1D1,
A2B2C2D2 и
A3B3C3D3, получим прямые
A1C1,
A2C2 и
A3C3, пересекающиеся в одной точке.
В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB = 8 и CD = 5 биссектриса угла B пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла D пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причём точка L лежит на основании BC.
а) В каком отношении прямая MK делит сторону AB, а прямая LN – сторону AD?
б) Найдите отношение KL : MN, если LM : KN = 4 : 7.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB и BC во внешнюю сторону построены равные прямоугольники ABMN и LBCK так, что AB = KC.
Докажите, что прямые AL, NK и MC пересекаются в одной точке.
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K. На боковых сторонах трапеции, как на диаметрах, построены окружности. Точка K лежит вне этих окружностей. Докажите, что длины касательных, проведённых к этим окружностям из точки K, равны.
Окружности S1 и S2 с центрам O1 и O2 соответственно пересекаются в точках A и B. Касательные к S1 и S2 в точке A пересекают отрезки BO2 и BO1 в точках K и L соответственно. Докажите, что KL || O1O2.
Страница:
<< 421 422 423 424
425 426 427 >> [Всего задач: 2266]
Фильтр
