Страница:
<< 22 23 24 25
26 27 28 >> [Всего задач: 257]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Сфера ω проходит через вершину S пирамиды SABC и пересекает рёбра SA, SB и SC вторично в точках A1, B1 и C1 соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (ABC). Точки A2, B2 и C2 симметричны точкам A1, B1 и C1 относительно середин рёбер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки A, B, C, A2, B2 и C2 лежат на одной сфере.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Шарообразная планета окружена 37-ю точечными астероидами. Доказать, что в любой
момент на поверхности планеты найдётся точка, из которой астроном не сможет
наблюдать более 17 астероидов.
Примечание. Астероид, расположенный на линии
горизонта, не виден.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Докажите, что если в четырёхгранный угол можно вписать сферу, то суммы противоположных плоских углов этого четырёхгранного угла равны.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Дан тетраэдр ABCD. В грани ABC и ABD вписаны окружности с центрами O1, O2, касающиеся ребра AB в точках T1, T2. Плоскость πAB проходит через середину отрезка T1T2 и перпендикулярна O1O2. Аналогично определяются плоскости πAC, πBC, πAD, πBD, πCD. Докажите, что все эти шесть плоскостей проходят через одну точку.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Луноход ездит по поверхности планеты, имеющей форму шара с длиной экватора 400 км. Планета считается полностью исследованной, если луноход побывал на расстоянии по поверхности не более 50 км от каждой точки поверхности и вернулся на базу (в исходную точку). Может ли луноход полностью исследовать планету, преодолев не более 600 км?
Страница:
<< 22 23 24 25
26 27 28 >> [Всего задач: 257]
Фильтр
