Выбрано 26 задач 
Убрать все задачи
Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?
Доказать, что при любом целом положительном n сумма
больше ½.
Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R и r, если расстояние между их центрами равно a
(a < R + r).
Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно.
Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает
значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.
В круге с центром O проведена хорда AB. Вычислите площадь получившегося сегмента, если ∠AOB = α, а радиус круга равен r.
Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n2 равна 100?
Доказать, что число 100...001, в котором 21974 + 21000 – 1 нулей, составное.
В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30o. Доказать, что треугольник ABC правильный.
К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Решить в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².
Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)
Доказать, что в десятичной записи чисел 2n + 1974n и 1974n содержится одинаковое количество цифр.
Дискриминанты трёх приведённых квадратных трёхчленов равны 1, 4 и 9.
Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.
Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые вписанная окружность делит его сторону, и радиус вписанной окружности.
Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой
сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM
была бы наименьшей.
В государстве имеют хождение монеты в один золотой и в один грош, причём один золотой составляет 1001 грошей.
Можно ли, имея 1986 золотых, купить без сдачи несколько предметов по 1987 грошей?
a ≡ 68 (mod 1967), a ≡ 69 (mod 1968). Найти остаток от деления a на 14.
Доказать, что разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных треугольника.
Дан угол в 30o. Постройте окружность радиуса 2,5, касающуюся одной стороны этого угла и имеющую центр на другой его стороне. Найдите расстояние от центра окружности до вершины угла.
На продолжениях сторон CA и AB треугольника ABC за точки A и B соответственно отложены отрезки AE = BC и BF = AC. Окружность касается отрезка BF в точке N, стороны BC и продолжения стороны AC за точку C. Точка M – середина отрезка EF. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе угла A.
В пространстве даны три отрезка A1A2, B1B2 и C1C2, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке P. Обозначим через Oijk центр сферы, проходящей через точки Ai, Bj, Ck и P. Докажите, что прямые O111O222, O112O221, O121O212 и O211O122 пересекаются в одной точке.
В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
Числа от 1 до 9 разместите в кружках фигуры (см. рис.) так, чтобы сумма четырёх чисел, находящихся в кружках-вершинах всех квадратов (их шесть), была постоянной.
B треугольнике ABC угол A равен 120°. Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно AB + AC.
На полке стоят, плотно прилегая друг к другу, две книги по 250 листов в каждой (см. рисунок). Каждая из обложек в 10 раз толще бумаги, на которой напечатаны обе книги. В каждую книгу вложена закладка. Расстояние между закладками втрое меньше общей толщины двух книг. Между какими листами лежит закладка во второй книге, если в первой книге она лежит посередине?
|
|
 |
Условие
На полке стоят, плотно прилегая друг к другу, две книги по 250 листов в каждой (см. рисунок). Каждая из обложек в 10 раз толще бумаги, на которой напечатаны обе книги. В каждую книгу вложена закладка. Расстояние между закладками втрое меньше общей толщины двух книг. Между какими листами лежит закладка во второй книге, если в первой книге она лежит посередине?
Решение
Заменим обложку каждой книги десятью листами. Тогда всего в двух книгах 250·2 + 10·4 = 540 листов. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Расстояние между закладками равно 540 : 3 = 180 листов. В первой книге после закладки находится 250 : 2 + 10 = 135 листов. Тогда во второй книге до закладки: 180 – 135 = 45 листов, из которых 10 листов – это обложка. Значит, закладка лежит после листа, номер которого равен
45 – 10 = 35, то есть между листами 35 и 36.
Второй способ. Суммарная толщина двух книг равна толщине 250·2 + 10·4 = 540 листов. Значит, толщина каждой обложки составляет 1/54 от толщины двух книг. Между закладками находится треть от двух книг, из которых четверть – это половина первой книги, а 1/54 – обложка второй книги. Таким образом, количество листов во второй книге от обложки до закладки составляет 1/3 – 1/4 – 1/54 = 7/108 от суммарной толщины обеих книг. Оно равно 540·7/108 = 35, то есть закладка лежит между листами 35 и 36.
Ответ
Между листами 35 и 36.
