Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 30 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Внутри треугольника ABC взята такая точка O, что  ∠ABO = ∠CAO,  ∠BAO = ∠BCO,  ∠BOC = 90°.  Найдите отношение  AC : OC.

Вниз   Решение


Восстановите треугольник ABC по прямым lb и lc, содержащим биссектрисы углов B и C, и основанию биссектрисы угла A – точке L1.

ВверхВниз   Решение


Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3.
Когда она доползет до цели, если стартовала улитка утром в понедельник?

ВверхВниз   Решение


Остроугольный треугольник ABC  (AB < AC)  вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это.
(Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)

ВверхВниз   Решение


Автор: Mahdi Etesami Fard

Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности.
Докажите, что три окружности с центрами A, B, C, проходящие через H, имеют общую касательную.

ВверхВниз   Решение


Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BB_1$ пересекает прямые $AA_1$, $CC_1$ в точках $A_0$, $C_0$. Докажите, что описанные окружности треугольников $A_0IC_0$ и $ABC$ касаются.

ВверхВниз   Решение


Марина купила тур в Банановую страну с 5 по 22 октября. Ввозить и вывозить бананы через границу запрещено. Банановый король в начале каждого месяца издаёт указ о ценах. Цена одного банана в местной валюте на нужные числа октября приведена в таблице:

$\,$5 $\,$6 $\,$7 $\,$8 $\,$9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
8,1 $\,$8 $\,$7 8,1 $\,$9 $\,$8 8,1 7,2 $\,$7 $\,$8 $\,$9 8,1 $\,$9 $\,$8 $\,$9 8,2 $\,$7 7,1

Марина хочет ежедневно съедать по одному банану. Она любит только зелёные бананы, поэтому согласна съесть банан только в течение 4 дней после покупки. Например, банан, купленный 5 октября, Марина согласна съесть 5, 6, 7 или 8 октября. Марина может запасаться бананами, когда они подешевле.

В какие дни по сколько бананов надо покупать Марине, чтобы потратить как можно меньше денег?

ВверхВниз   Решение


Автор: Ильясов С.

В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.

ВверхВниз   Решение


Автор: Золотых А.

Каждая сторона треугольника разделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых – шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S.

ВверхВниз   Решение


Автор: Mahdi Etesami Fard

Окружность $\omega$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Перпендикуляр из $E$ на $DF$ пересекает прямую $BC$ в точке $X$, а перпендикуляр из $F$ на $DE$ пересекает $BC$ в точке $Y$. Отрезок $AD$ пересекает $\omega$ во второй раз в точке $Z$. Докажите, что описанная окружность треугольника $XYZ$ касается $\omega$.

ВверхВниз   Решение


Автор: Панов М.Ю.

В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL$. Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает отрезок $CL$ в точке $K$.
Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $AKL$ касаются.

ВверхВниз   Решение


Автор: Нетай И.В.

Сто мудрецов хотят проехать на электричке из 12 вагонов от первой до 76-й станции. Они знают, что на первой станции в два вагона электрички сядут два контролёра. После четвёртой станции на каждом перегоне один из контролёров будет переходить в соседний вагон, причём они "ходят" по очереди. Мудрец видит контролёра, только если он в соседнем вагоне или через вагон. На каждой станции каждый мудрец может перебежать по платформе не далее чем на три вагона (например, из 7-го вагона мудрец может добежать до любого вагона с номером от 4 до 10 и сесть в него). Какое максимальное число мудрецов сможет ни разу не оказаться в одном вагоне с контролёром, как бы контролёры ни перемещались? (Никакой информации о контролёрах, кроме указанной в задаче, мудрец не получает. Мудрецы договариваются о стратегии заранее.)

ВверхВниз   Решение


Автор: Mahdi Etesami Fard

Окружность $\omega_1$ проходит через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ и касается лучей $CB$, $CD$. Окружность $\omega_2$ касается лучей $AB$, $AD$ и касается внешним образом $\omega_1$ в точке $T$. Докажите, что $T$ лежит на диагонали $AC$.

ВверхВниз   Решение


В параллелограмме ABCD на диагонали AC взята точка E, причём  AE : EC = 1 : 3,  а на стороне AD взята такая точка F, что  AF : FD = 1 : 2.  Найдите площадь четырёхугольника ABGE, где G – точка пересечения прямой FE со стороной BC, если известно, что площадь параллелограмма ABCD равна 24.

ВверхВниз   Решение


Дано натуральное число $N$. Вера делает с ним следующие операции: сначала прибавляет 3 до тех пор, пока получившееся число не станет делиться на 5 (если изначально $N$ делится на 5, то ничего прибавлять не надо). Получившееся число Вера делит на 5. Далее делает эти же операции с новым числом, и так далее. Из каких чисел такими операциями нельзя получить 1?

ВверхВниз   Решение


Автор: Фомин С.В.

Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?

ВверхВниз   Решение


Автор: Тимохин М.

Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке P, а её диагонали – в точке Q. Точка M на меньшем основании BC такова, что  AM = MD.  Докажите, что  ∠PMB = ∠QMB.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фомин С.В.

Имеется два трёхлитровых сосуда. В одном 1 л воды, в другом – 1 л двухпроцентного раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний получить полуторапроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?

ВверхВниз   Решение


Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?

ВверхВниз   Решение


Миша сложил из кубиков куб 3×3×3. Затем некоторые соседние по грани кубики он склеил друг с другом. Получилась цельная конструкция из 16 кубиков, остальные кубики Миша убрал. Обмакнув конструкцию в чернила, он поочерёдно приложил её к бумаге тремя гранями. Вышло слово КОТ (см. рис.). Что получится, если отпечатать грань, противоположную букве "О"?

ВверхВниз   Решение


Автор: Пойа Дж.

В любой арифметической прогрессии  a,  a + d,  a + 2d,  ...,  a + nd,  ...,  составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.

ВверхВниз   Решение


Автор: Хомодов А.

а) Докажите, что в любом многоугольнике, кроме треугольника, есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри него.
б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь n-угольник.

ВверхВниз   Решение


К описанной окружности треугольника $ABC$ проведены касательные в точках $B$ и $C$. Лучи $CC_1$, $BB_1$, где $B_1$ и $C_1$ – середины сторон $AC$ и $AB$, пересекают эти касательные в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle BAK=\angle CAL$.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фомин С.В.

Дано 27 кубиков одинакового размера: 9 красных, 9 синих и 9 белых. Можно ли сложить из них куб таким образом, чтобы каждый столбик из трёх кубиков содержал кубики ровно двух цветов? (Рассматриваются столбики, параллельные всем ребрам куба, всего 27 столбиков.)

ВверхВниз   Решение


На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ вне его построен равнобедренный треугольник $ABE$ ($AE=BE$). Пусть $M$ – середина $AE$, $O$ – точка пересечения $AC$ и $BD$, $K$ – точка пересечения $ED$ и $OM$. Докажите, что $EK=KO$.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фомин С.В.

Имеется 68 монет, причём известно, что любые две монеты различаются по весу.
За 100 взвешиваний на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую лёгкую монеты.

ВверхВниз   Решение


  а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части.
  б) Решите общую задачу: при каких a и b можно разделить пополам  a + b  литров молока, пользуясь лишь сосудами в a литров, b литров и  a + b  литров?
За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.

ВверхВниз   Решение


Автор: Тимохин М.

Дан правильный 2n-угольник A1A1...A2n с центром O, причём  n ≥ 5.  Диагонали A2An–1 и A3An пересекаются в точке F, а A1A3 и A2A2n–2 – в точке P.
Докажите, что  PF = PO.

Вверх   Решение

Задача 65875
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Автор: Тимохин М.

Дан правильный 2n-угольник A1A1...A2n с центром O, причём  n ≥ 5.  Диагонали A2An–1 и A3An пересекаются в точке F, а A1A3 и A2A2n–2 – в точке P.
Докажите, что  PF = PO.


Решение

  Пусть C – середина дуги A3An–1. Прямые A2A2n и OC параллельны как перпендикуляры к диаметру A1An+1. Диагонали A3An и An–1A2 симметричны относительно прямой OC, поэтому точка F лежит на ней. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Пусть B – середина дуги A1A2n (рис. слева). Диагонали A1A2n–1 и A2nA2 симметричны относительно прямой OB, поэтому пересекаются на ней в точке S. Прямые OB и A2An–1 параллельны ввиду равенства дуг, заключённых между ними. Следовательно, FOSA2 – параллелограмм.
  При симметрии относительно диаметра A1An+1 точка P переходит в точку Q пересечения диагоналей A1A2n–1 и A2nA4. Прямые A1A2n–1 и A2A2n–2, очевидно, параллельны. Прямые PQ и A2A2n параллельны как перпендикуляры к диаметру A1An+1. Следовательно, PQSA2 – параллелограмм.
  Значит, отрезок PQ параллелен и равен отрезку A2S, а он, в свою очередь, отрезку FO. То есть PQOF – тоже параллелограмм. Поэтому  PF = QO = PO.

  Второй способ. Пусть A2A2n и A1A3 пересекаются в точке K (рис. справа). Заметим, что углы A3KA2, A3OA2, A3FA2 измеряются дугой A3A2. Значит, точки A3, A2, K, О и F лежат на одной окружности. Следовательно, трапеция KOFA2 – равнобокая.
  Угол A2nA2A2n–2 также измеряется дугой A3A2. Поэтому треугольник KPA2 – равнобедренный, то есть Р лежит на серединном перпендикуляре к отрезку KA2, а этот перпендикуляр является осью симметрии указанной трапеции. Следовательно,  PF = PO.

Замечания

1. Во втором способе можно обойтись и без окружности. Заметим, что диагонали A1A3 и A2A2n симметричны относительно диаметра, проходящего через середину дуги A1A3. Значит, точка K лежит на этом диаметре. Поэтому  ∠A2nA2An–1 = n+1/n π = ∠OKA2. Следовательно, трапеция KOFA2 – равнобокая.

2. 9 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 38
Дата 2016/17
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .