ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 115858  (#10.2)

Темы:   [ Замечательное свойство трапеции ]
[ Центр масс ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Нилов Ф.

Дан четырёхугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке K. Его диагонали пересекаются в точке L. Известно, что прямая KL проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника ABCD. Докажите, что ABCD – трапеция.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115857  (#10.1)

Темы:   [ Формулы для площади треугольника ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство

Прислать комментарий     Решение

Задача 115859  (#10.3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Формула Эйлера ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC равны R и r; O, I – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла C пересекает прямую AB в точке P. Точка Q – проекция точки P на прямую OI. Найдите расстояние OQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115889  (#8.1)

Темы:   [ Трапеции (прочее) ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

В трапеции ABCD боковая сторона AB равна меньшему основанию BC, а диагональ AC равна основанию AD. Прямая, проходящая через вершину B параллельно AC, пересекает прямую DC в точке M. Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115890  (#8.2)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Неопределено ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей – вписанные четырёхугольники, причем радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть – четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .