ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 65253

Темы:   [ Интерполяционный многочлен Лагранжа ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Тыщук К.

Дано натуральное число  n > 3.  Назовём набор из n точек на координатной плоскости допустимым, если их абсциссы различны, и каждая из этих точек окрашена либо в красный, либо в синий цвет. Будем говорить, что многочлен P(x) разделяет допустимый набор точек, если либо выше графика P(x) нет красных точек, а ниже – нет синих, либо наоборот (на самом графике могут лежать точки обоих цветов). При каком наименьшем k любой допустимый набор из n точек можно разделить многочленом степени не более k?
Прислать комментарий     Решение


Задача 79373

Темы:   [ Производные высших порядков ]
[ Интеграл и первообразная ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Функция y = f (x) определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что f (0) = f (1) = 0 и что |f''(x)| ≤ 1 на всём отрезке. Какое наибольшее значение может принимать максимум функции f для всевозможных функций, удовлетворяющих этим условиям?
Прислать комментарий     Решение


Задача 98421

Темы:   [ Замена переменных ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Разрывы функций ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10

Дана функция    ,   где трёхчлены  x² + ax + b  и  x² + cx + d  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
  2)  f(x) представима в виде:  f(x) = f1(f2(...fn–1(fn(x))...)),  где каждая из функций  fi(x) есть функция одного из видов:   kix + bi, x–1, x².

Прислать комментарий     Решение

Задача 109838

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Иррациональные неравенства ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Докажите, что sin< при 0<x< .
Прислать комментарий     Решение


Задача 115397

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Ограниченность, монотонность ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Последовательность a1,a2,.. такова, что a1(1,2) и ak+1=ak+ при любом натуральном  k . Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .