Версия для печати
Убрать все задачи

---

Паутина имеет вид клетчатой сетки 100×100 узлов (другими словами, это сетка 99×99 клеток). В каком-то её углу сидит паук, а в некоторых 100 узлах к паутине приклеились мухи. За ход паук может переместиться в любой соседний с ним узел. Может ли паук гарантированно съесть всех мух, затратив не более
  а) 2100 ходов;
  б) 2000 ходов?

   Решение

---

Графики квадратного трёхчлена и его производной разбивают координатную плоскость на четыре части. Сколько корней имеет этот квадратный трёхчлен?

   Решение

---

Решите уравнение $$x^3+(\log_25+\log_32+\log_53) x=(\log_23+\log_35+\log_52) x^2+1.$$

   Решение

---

В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.

   Решение

---

Четыре окружности радиуса R пересекаются по три в точках M и N, и по две в точках A, B, C и D. Докажите что ABCD — параллелограмм.

   Решение

---

Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Пусть $H$ и $M$ – точка пересечения высот и середина стороны $BC$ соответственно. Прямая $HM$ пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $BHC$, в точке $N\not=H$. На дуге $BC$ окружности $\omega$, не содержащей точку $H$, нашлась точка $P$ такая, что $\angle HMP=90^{\circ}$. Отрезок $PM$ пересекает $\Omega$ в точке $Q$. Точки $B'$ и $C'$ симметричны точке $A$ относительно точек $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $AB'C'$ и $PQN$ касаются.

   Решение

---

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

   Решение

---

Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке (0, 0) и вершинами в целых точках, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк – фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которые можно разбить на двуклеточные доминошки ровно  $n > 2$  различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.)

   Решение

---

Решите систему уравнений:
   (x₃ + x₄ + x₅)⁵ = 3x₁,
   (x₄ + x₅ + x₁)⁵ = 3x₂,
   (x₅ + x₁ + x₂)⁵ = 3x₃,
   (x₁ + x₂ + x₃)⁵ = 3x₄,
   (x₂ + x₃ + x₄)⁵ = 3x₅.

   Решение

---

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle BAD = 2 \angle BCD$ и $AB = AD$. Пусть $P$ – такая точка, что $ABCP$ – параллелограмм. Докажите, что $CP=DP$.

   Решение

---

Около треугольника ABC описали окружность. A₁ – точка пересечения с нею прямой, параллельной BC и проходящей через A. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Из точек A₁, B₁, C₁ опустили перпендикуляры на BC, CA, AB соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AB=CD$). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$. Пусть $L$ – середина $QD$. Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$.

   Решение

---

Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, пересекающиеся в точке $A$, и прямая $a$. Пусть $BC$ – произвольная хорда окружности $\omega_2$, параллельная $a$, а $E$ и $F$ – вторые точки пересечения прямых $AB$ и $AC$ с $\omega_1$. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $BC$ и $EF$.

   Решение

---

Вписанная и вневписанная сферы треугольной пирамиды ABCD касаются её грани BCD в различных точках X и Y.
Докажите, что треугольник AXY тупоугольный.

   Решение

---

На координатной плоскости расположили треугольник так, что его сдвиги на векторы с целочисленными координатами не перекрываются.
  а) Может ли площадь такого треугольника быть больше ½?
  б) Найдите наибольшую возможную площадь такого треугольника.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35558

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ] [ Принцип крайнего ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Пусть M – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M.
Какое наибольшее число элементов может быть в M?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98455

Темы:   [ Неравенства для площади треугольника ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Монотонность, ограниченность ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
  а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
  б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110005

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110046

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Раскраски ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Клетки таблицы 200×200 окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных клеток на 404 больше, чем белых.
Докажите, что найдётся квадрат 2×2, в котором число белых клеток нечётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98555

Темы:   [ Параллельный перенос (прочее) ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

На координатной плоскости расположили треугольник так, что его сдвиги на векторы с целочисленными координатами не перекрываются.
  а) Может ли площадь такого треугольника быть больше ½?
  б) Найдите наибольшую возможную площадь такого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями