Версия для печати
Убрать все задачи

---

Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет еще одну карту, и так сколько угодно раз, пока он не скажет “стоп”. Может ли Фукс добиться того, чтобы после слова "стоп"
  а) каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
  б) рядом со свободным местом наверняка не было туза пик?

   Решение

---

Пусть  f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение  f(x) = a  при любом значении a имеет чётное число решений?

   Решение

Страница: << 185 186 187 188 189 190 191 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64849

Темы:   [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На кольцевой дороге через равные промежутки расположены 25 постов, на каждом стоит полицейский. Полицейские пронумерованы в каком-то порядке числами от 1 до 25. Требуется, чтобы они перешли по дороге так, чтобы снова на каждом посту был полицейский, но по часовой стрелке за номером 1 стоял номер 2, за номером 2 стоял номер 3, ..., за номером 25 стоял номер 1. Докажите, что если организовать переход так, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим, то кто-то из полицейских останется на своём посту.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64850

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Внутри прямоугольного треугольника построили две равные окружности так, что первая касается одного из катетов и гипотенузы, вторая касается другого катета и гипотенузы, а ещё эти окружности касаются друг друга. Пусть M и N – точки касания окружностей с гипотенузой. Докажите, что середина отрезка MN лежит на биссектрисе прямого угла треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64853

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65153

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Дано  2n + 1  число (n – натуральное), среди которых одно число равно 0, два числа равны 1, два числа равны 2, ..., два числа равны n. Для каких n эти числа можно записать в одну строку так, чтобы для каждого натурального m от 1 до n между двумя числами, равными m, было расположено ровно m других чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65156

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Композиция преобразований плоскости ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Точки K и L делят медиану AM треугольника ABC на три равные части, точка K лежит между L и . Отметили точку P так, что треугольники KPL и ABC подобны, причём P и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AM. Докажите, что P лежит на прямой AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 185 186 187 188 189 190 191 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями