Версия для печати
Убрать все задачи

---

В вершинах 33-угольника записали в некотором порядке целые числа от 1 до 33. Затем на каждой стороне написали сумму чисел в её концах.
Могут ли на сторонах оказаться 33 последовательных целых числа (в каком-нибудь порядке)?

   Решение

---

Гости за круглым столом ели изюм из корзины с 2011 изюминками. Оказалось, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше изюминок, чем его сосед справа. Докажите, что были съедены не все изюминки.

   Решение

---

Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?

   Решение

---

Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на шахматной доске, чтобы
  1) среди отмеченных клеток не было соседних (имеющих общую сторону или общую вершину),
  2) добавление к этим клеткам любой одной клетки нарушало пункт 1?

   Решение

---

В лес за грибами пошли 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали  n² + 9n – 2  гриба, причём все они собрали поровну грибов.
Кого было больше: мальчиков или девочек?

   Решение

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97863

Темы:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Последовательности (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Десятичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97867

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Площадь параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Квадрат разбит на пять прямоугольников так, что четыре угла квадрата являются углами четырёх прямоугольников, площади которых равны между собой, а пятый прямоугольник не имеет общих точек со сторонами квадрата. Докажите, что этот пятый прямоугольник есть квадрат.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97870

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Из чисел  1, 2, 3, ..., 1985  выбрать наибольшее количество чисел так, чтобы разность любых двух выбранных чисел не была простым числом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97871

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Доказательство от противного ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Даны три действительных числа: a, b и c. Известно, что  a + b + c > 0,  ab + bc + ca > 0,  abc > 0.  Докажите, что  a > 0,  b > 0  и  c > 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97880  [Игра "кошки-мышки"]

Темы:   [ Симметричная стратегия ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Кошка ловит мышку в лабиринтах А, Б, В. Кошка ходит первой, начиная с узла, отмеченного буквой "К". Затем ходит мышка (из узла "М"), затем опять кошка и т. д. Из любого узла кошка и мышка ходят в любой соседний узел. Если в какой-то момент кошка и мышка оказываются в одном узле, кошка ест мышку. Сможет ли кошка поймать мышку в каждом из случаев А, Б, В?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями