Версия для печати
Убрать все задачи

---

В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.

   Решение

Страница: << 292 293 294 295 296 297 298 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97828

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Индукция (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел:  (8, 9),  (288, 289).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97855

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Деление с остатком ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Набор чисел  A₁, A₂, ..., A₁₀₀  получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:
      B₁ = A₁,  B₂ = A₁ + A₂,  B₃ = A₁ + A₂ + A₃,  ...,  B₁₀₀ = A₁ + A₂ + A₃ + ... + A₁₀₀.
Докажите, что среди остатков от деления на 100 чисел  B₁, B₂, ..., B₁₀₀  найдутся 11 различных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97856

Темы:   [ Инварианты ] [ Правильные многоугольники ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В правильном десятиугольнике проведены все диагонали. Возле каждой вершины и возле каждой точки пересечения диагоналей поставлено число +1 (рассматриваются только сами диагонали, а не их продолжения). Разрешается одновременно изменить все знаки у чисел, стоящих на одной стороне или на одной диагонали. Можно ли с помощью нескольких таких операций изменить все знаки на противоположные?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97876

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ] [ Линейная и полилинейная алгебра ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97882

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Два шахматиста играют между собой в шахматы с часами (сделав ход, шахматист останавливает свои часы и пускает часы другого). Известно, что после того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих шахматистов показывали одно и то же время: 2 часа 30 мин.

  а) Докажите, что в ходе партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого не менее, чем на 1 мин. 51 сек.
  б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была равна 2 мин.?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 292 293 294 295 296 297 298 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями