Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из вершины A остроугольного треугольника ABC по биссектрисе угла A выпустили бильярдный шарик, который отразился от стороны BC по закону "угол падения равен углу отражения" и дальше катился по прямой, уже ни от чего не отражаясь. Докажите, что если  ∠A = 60°,  то траектория шарика проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65814

Темы:   [ Шахматная раскраска ] [ Средние величины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В каждой вершине куба записано по числу. Вместо каждого числа записывают среднее арифметическое чисел, стоящих в трёх соседних вершинах (числа заменяют одновременно). После десяти таких операций в каждой вершине оказалось исходное число. Обязательно ли все исходные числа были одинаковы?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65815

Тема:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Отрезок единичной длины разбили на 11 отрезков, длина каждого из которых не превосходит а.
При каких значениях а можно утверждать, что из любых трёх получившихся отрезков можно составить треугольник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65818

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Можно ли уместить два точных куба между соседними точными квадратами?
Иными словами, имеет ли решение в целых числах неравенство:  n² < a³ < b³ < (n + 1)²?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65819

Тема:   [ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Дан отрезок длины    Можно ли построить циркулем и линейкой (на которой нет делений) отрезок длины 1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65821

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Отношения площадей (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E, F.
Докажите, что отношение  S_DEF : S_ABC   а) больше 1;   б) не меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями