Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 1957]

Задача 78049

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 9

Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁...A_n и соединена отрезками с вершинами. Стороны n-угольника нумеруются числами от 1 до n, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками OA₁, ..., OA_n.
а) При n = 9 найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников A₁OA₂, ..., A_nOA₁ одинакова.
б) Доказать, что при n = 10 такой нумерации осуществить нельзя.

Прислать комментарий Решение

Задача 78052

Темы:	[	Подобные треугольники	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC. На сторонах AB, BC, CA взяты соответственно точки C₁, A₁, B₁ так, что AC₁ : C₁B = BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = 1 : n. На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ треугольника A₁B₁C₁ взяты соответственно точки C₂, A₂, B₂ так, что A₁C₂ : C₂B₁ = B₁A₂ : A₂C₁ = C₁B₂ : B₂A₁ = n : 1. Доказать, что A₂C₂ || AC, C₂B₂ || CB, B₂A₂ || BA.

Прислать комментарий Решение

Задача 78054

Темы:	[	Уравнения высших степеней (прочее)	]
Темы:	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Дано уравнение xⁿ – a₁x^n–1 – a₂x^n–2 – ... – a_n–1x – a_n = 0, где a₁ ≥ 0, a₂ ≥ 0, a_n ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78056

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Доказать, что если ^p/_q – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома f(x) с целыми коэффициентами, то p – kq есть делитель числа f(k) при любом целом k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78063

Темы:	[	Обыкновенные дроби	]
Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Найти все числа, на которые может быть сократима при целом значении l дробь .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 1957]