Страница: << 175 176 177 178 179 180 181 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67485

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Петя и Вася по очереди проводят дороги на плоскости, начинает Петя. Дорога — это горизонтальная или вертикальная прямая, по которой можно двигаться только в одну сторону (выбранную при создании дороги). Всегда ли Вася может действовать так, чтобы после любого его хода можно было проехать по правилам от любого перекрёстка дорог до любого другого, как бы ни действовал Петя?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67491

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Процессы и операции ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Петя записал на доске натуральное число. Каждую минуту Вася умножает последнее записанное на доску число на 2 или на 3 и записывает результат на доске. Может ли Петя выбрать начальное число так, чтобы в любой момент среди всех записанных на доске чисел количество начинающихся на 1 или 2 было больше, чем количество начинающихся на 7, 8 или 9, как бы ни действовал Вася?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67500

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На стороне $CD$ прямоугольника $ABCD$ взята точка $K$. Из вершины $B$ опустили перпендикуляр $BH$ на отрезок $AK$. Оказалось, что отрезки $AK$ и $BH$ делят прямоугольник на три части, в каждую из которых можно вписать круг (см. рисунок). Докажите, что если круги, касающиеся стороны $CD$, равны, то и третий круг им равен.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67513

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Алгебра и арифметика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Существует ли такое положительное число $x > 1$, что $$\{x\} > \{x^2\} > \{x^3\} > \ldots > \{x^{100}\}?$$ (Здесь $\{x\}$ — дробная часть числа $x$, то есть разность между $x$ и ближайшим целым числом, не превосходящим $x$.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67517

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На плоскости расположены круг и правильный 100-угольник, имеющие одинаковые площади. Какое наибольшее количество вершин 100-угольника может находиться внутри круга (не на границе)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 175 176 177 178 179 180 181 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями