Версия для печати
Убрать все задачи

---

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.

   Решение

---

Можно ли в таблицу 4×4 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
  3) среди чисел нет равных;
  4) все числа не больше 100?

   Решение

---

Из центра O правильного n-угольника A₁A₂...A_n проведены n векторов в его вершины. Даны такие числа  a₁, a₂, ..., a_n,  что
a₁ > a₂ > ... > a_n > 0.  Докажите, что линейная комбинация векторов     отлична от нулевого вектора.

   Решение

---

Внутри квадрата ABCD лежит квадрат PQRS. Отрезки AP, BQ, CR и DS не пересекают друг друга и стороны квадрата PQRS.
Докажите, что сумма площадей четырёхугольников ABQP и CDSR равна сумме площадей четырёхугольников BCRQ и DAPS.

   Решение

Страница: << 241 242 243 244 245 246 247 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108128

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH_A, BH_B и CH_C.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AH_BH_C, BH_AH_C и CH_AH_B равен треугольнику H_AH_BH_C.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108132

Темы:   [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дана окружность и точка A внутри неё.
Найдите геометрическое место вершин C всевозможных прямоугольников ABCD, где точки B и D лежат на окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108595

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Внутри квадрата ABCD лежит квадрат PQRS. Отрезки AP, BQ, CR и DS не пересекают друг друга и стороны квадрата PQRS.
Докажите, что сумма площадей четырёхугольников ABQP и CDSR равна сумме площадей четырёхугольников BCRQ и DAPS.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108599

Темы:   [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Неравенства для элементов треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Из точки O, лежащей внутри выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n, проведены отрезки ко всем вершинам: OA₁, OA₂, ..., OA_n . Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами n-угольника – острые, причём  ∠OA₁A_n ≤ ∠OA₁A₂,  ∠OA₂A₁ ≤ ∠OA₂A₃,  ...,
∠OA_n–1A_n–2 ≤ ∠OA_n–1A_n,  ∠OA_nA_n–1 ≤ ∠OA_nA₁.  Докажите, что O – центр окружности, вписанной в n-угольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108609

Темы:   [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Полуинварианты ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На плоскости расположено такое конечное множество точек M, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены друг с другом отрезками так, что из каждой точки выходит не более одного отрезка. Разрешается заменить пару пересекающихся отрезков AB и CD парой противоположных сторон AC и BD четырёхугольника ACBD. В полученной системе отрезков разрешается снова произвести подобную замену, и т. д. Может ли последовательность таких замен быть бесконечной?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 241 242 243 244 245 246 247 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями