Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны $n$ натуральных чисел. Боря для каждой пары этих чисел записал на чёрную доску их среднее арифметическое, а на белую доску — их среднее геометрическое, и для каждой пары хотя бы одно из этих двух средних было целым. Докажите, что хотя бы на одной из досок все числа целые.

   Решение

---

Каждый из квадратных трёхчленов $P(x)$, $Q(x)$ и $P(x)+Q(x)$ с действительными коэффициентами имеет кратный корень. Обязательно ли все эти корни совпадают?

   Решение

---

Треугольник ABC вписан в окружность. Точка A₁ диаметрально противоположна точке A, точка A₀ – середина стороны BC, точка A₂ симметрична точке A₁ относительно точки A₀. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что точки A₂, B₂ и C₂ совпадают.

   Решение

Страница: << 158 159 160 161 162 163 164 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108598

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108600

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Треугольник ABC вписан в окружность. Точка A₁ диаметрально противоположна точке A, точка A₀ – середина стороны BC, точка A₂ симметрична точке A₁ относительно точки A₀. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что точки A₂, B₂ и C₂ совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108604

Темы:   [ Существование определенного интеграла ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Векторы сторон многоугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки P, M и K так, что отрезки AM, BK и CP пересекаются в одной точке и      Докажите, что P, M и K – середины сторон треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108678

Темы:   [ Углы между биссектрисами ] [ Вневписанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Окружность с центром D проходит через вершины A, B и центр O вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся его стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109191

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В остроугольный треугольник вписана окружность радиуса R. К окружности проведены три касательные, разбивающие треугольник на три прямоугольных треугольника и шестиугольник. Периметр шестиугольника равен Q. Найдите сумму диаметров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 158 159 160 161 162 163 164 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями