Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Докажите, что если 0 < a, b < 1, то
У выпуклого многогранника 2n граней ( n 3 ), и все грани
являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых
сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?
Прямоугольник m×n разрезан на уголки:
Окружности σ 1 и σ 2 пересекаются в точках A и B . В точке A к σ 1 и σ 2 проведены соответственно касательные l1 и l2 . Точки T1 и T2 выбраны соответственно на окружностях σ 1 и σ 2 так, что угловые меры дуг T1A и AT2 равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке). Касательная t1 в точке T1 к окружности σ 1 пересекает l2 в точке M1 . Аналогично, касательная t2 в точке T2 к окружности σ 2 пересекает l1 в точке M2 . Докажите, что середины отрезков M1M2 находятся на одной прямой, не зависящей от положения точек T1 , T2 .
Множество клеток на клетчатой плоскости назовем ладейно связным, если из каждой его клетки можно попасть в любую другую, двигаясь по клеткам этого множества ходом ладьи (ладье разрешается перелетать через поля, не принадлежащие нашему множеству). Докажите, что ладейно связное множество из 100 клеток можно разбить на пары клеток, лежащих в одной строке или в одном столбце.
Существует ли такое натуральное число n > 101000, не делящееся на 10, что в его десятичной записи можно переставить две различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых делителей не изменилось?
Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
Длины сторон многоугольника равны a1, a2, ..., an. Квадратный трёхчлен f(x) таков, что f(a1) = f(a2 + ... + an).
Докажите, что если A – сумма длин нескольких сторон многоугольника, B – сумма длин остальных его сторон, то f(A) = f(B).
Окружность с центром O вписана в четырёхугольник ABCD и касается его непараллельных сторон BC и AD в точках E и F соответственно. Пусть прямая AO и отрезок EF пересекаются в точке K , прямая DO и отрезок EF – в точке N , а прямые BK и CN – в точке M . Докажите, что точки O , K , M и N лежат на одной окружности.
В прямоугольной таблице 9 строк и 2004 столбца. В её клетках расставлены числа от 1 до 2004, каждое – по 9 раз. При этом в каждом столбце числа различаются не более чем на 3. Найдите минимальную возможную сумму чисел в первой строке.
Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия
{an} из натуральных чисел, что произведение
an...an+9 делится на сумму
an +... + an+9 при любом натуральном n?
В языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное k , для которого можно выбрать k различных слов, в записи которых используется ровно k различных букв.
Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей –
чисто периодические дроби с периодом T.
Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше T.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]
Задача 109838 (#06.5.11.1) |
|
|
Докажите, что sin<
при 0<x<
.
|
|
Решение |
Задача 109839 (#06.5.11.2) |
|
|
Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей –
чисто периодические дроби с периодом T.
Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше T.
|
|
Решение |
Задача 109840 (#06.5.11.3) |
|
В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все 50· 70 вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?
|
|
|
Решение |
Биссектрисы BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B1C1 пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 109842 (#06.5.11.5) |
|
|
Последовательности положительных чисел (xn) и (yn) удовлетворяют условиям при всех натуральных n. Докажите, что если все числа x1, x2, y1, y2 больше 1, то xn > yn при каком-нибудь натуральном n.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]
