Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

На координатной плоскости изображен график функции  y = ax² + c  (см. рисунок). В каких точках график функции  y = cx + a  пересекает оси координат?

Вниз   Решение


Сплав из золота и серебра массой 13 кг 850 г при полном погружении в воду вытеснил 900 г воды. Определить количество золота и серебра в этом сплаве, если известно, что плотность золота равна 19,3 кг/дм3, а серебра – 10,5 кг/дм3.

ВверхВниз   Решение


В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены n2 фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через [] ходов.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

ВверхВниз   Решение


Решить в целых числах уравнение  9x + 2 = (y + 1)y.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

На доске записаны числа 1, 21, 2², 2³, 24, 25. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число.
Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

ВверхВниз   Решение


Каких точных квадратов, не превосходящих 1020, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?

ВверхВниз   Решение


Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n ?

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Решите уравнение:   (x + 2010)(x + 2011)(x + 2012) = (x + 2011)(x + 2012)(x + 2013).

ВверхВниз   Решение


Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).

На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр – фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?

ВверхВниз   Решение


Доказать, что  7 + 7² + ... + 74K,  где K – любое натуральное число, делится на 400.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Решите неравенство:  

ВверхВниз   Решение


Рассмотрим 5 точек A, B, C, D, E так что ABCD - параллелограмм, BCED лежат на одной окружности. Al, прямая lпересекает внутренность [DC] в F и прямую BC в G. Пусть EF = EG = EC. Доказать, что l - биссектриса угла DAB.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



Задача 110771

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Четность и нечетность ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Диагональ правильного 2006-угольника P называется хорошей, если её концы делят границу P на две части, каждая из которых содержит нечётное число сторон. Стороны P также называются хорошими. Пусть P разбивается на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри P. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?

Прислать комментарий     Решение

Задача 110751

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Выпуклый анализ и линейное программирование ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

Каждой стороне b выпуклого многоугольника P поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в P, одна из сторон которых совпадает с b. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам P, не меньше удвоенной площади многоугольника P.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111044

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
[ Малая теорема Ферма ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида  np – p  не делятся на q.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110748

Темы:   [ Выпуклый анализ и линейное программирование ]
[ Неравенства с модулями ]
Сложность: 6-
Классы: 10,11

Даны числа а1, ..., аn.
Для 1 ≤ in положим

di = MAX { aj | 1 ≤ ji } - MIN { aj | ijn }
d = MAX { di | 1 ≤ in }

а) Доказать, что для любых x1x2 ≤ ... ≤ xn выполняется неравенство

MAX { |xi - ai| | 1 ≤ in } ≥ d/2.


б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {xi} i=1...n

Прислать комментарий     Решение

Задача 110749

Темы:   [ Прямая Симсона ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Рассмотрим 5 точек A, B, C, D, E так что ABCD - параллелограмм, BCED лежат на одной окружности. Al, прямая lпересекает внутренность [DC] в F и прямую BC в G. Пусть EF = EG = EC. Доказать, что l - биссектриса угла DAB.

Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .