Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 170 171 172 173 174 175 176 >> [Всего задач: 1854]

Задача 116832

Темы:	[	Центр масс	]
	[	Хорды и секущие (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Митрофанов И.В.

а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.

б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник (n > 2), его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116993

Темы:	[	Шахматная раскраска	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Степень вершины	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Токарев С.И.

Куб с ребром n составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?

Прислать комментарий

Решение

Задача 67442

Темы:	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Дан описанный пятиугольник $ABCDE$. Центр его вписанной окружности лежит на диагонали $AC$. Докажите, что $AB + BC > CD + DE + EA$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67478

Тема:

[

Теория игр (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Мама и сын играют. Сначала сын режет головку сыра 300 г на 4 куска. Затем мама распределяет 280 г масла на 2 тарелки. Наконец, сын раскладывает куски сыра на те же тарелки. Он выиграет, если на каждой тарелке сыра будет не меньше, чем масла (иначе выиграет мама). Кто из них может победить, как бы ни действовал другой?

Прислать комментарий Решение

Задача 67612

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Нилов Ф.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ равны, $K$ – точка пересечения диагоналей. Описанная окружность треугольника $ABD$ повторно пересекает сторону $BC$ в точке $Y$, а описанная окружность треугольника $BCD$ повторно пересекает сторону $AB$ в точке $X$. Докажите, что $\angle AKX = \angle CKY$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 170 171 172 173 174 175 176 >> [Всего задач: 1854]