Версия для печати
Убрать все задачи

---

В ящиках лежат камни. За один ход выбирается число k, затем камни в ящиках делятся на группы по k штук и остаток менее, чем из k штук. Оставляют по одному камню из каждой группы и весь остаток. Можно ли за пять ходов добиться, чтобы в ящиках осталось ровно по одному камню, если в каждом из них
  а) не более 460 камней;
  б) не более 461 камня?

   Решение

---

Два фокусника показывают зрителю такой фокус. У зрителя есть 24 карточки, пронумерованные числами от 1 до 24. Он выбирает из них 13 карточек и передаёт первому фокуснику. Тот возвращает зрителю две из них. Зритель добавляет к этим двум одну из оставшихся у него 11 карточек и, перемешав, передаёт эти три карточки второму фокуснику. Каким образом фокусники могут договориться так, чтобы второй всегда с гарантией мог определить, какую из трёх карточек добавил зритель?

   Решение

---

Ученик не заметил знака умножения между двумя семизначными числами и написал одно четырнадцатизначное число, которое оказалось в три раза больше их произведения. Найдите эти числа.

   Решение

---

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в O . X "– произвольная точка внутри треугольника ABC , такая, что XAB= XBC=ϕ , а P – такая точка, что PX OX , XOP=ϕ , причем углы XOP и XAB одинаково ориентированы. Докажите, что все такие точки P лежат на одной прямой.

   Решение

---

Гриша записал в клетки шахматной доски числа 1, 2, 3, ..., 63, 64 в некотором порядке. Он сообщил Лёше только сумму чисел в каждом прямоугольнике из двух клеток и добавил, что 1 и 64 лежат на одной диагонали. Докажите, что по этой информации Лёша может точно определить, в какой клетке какое число записано.

   Решение

---

Доказать, что произведение n первых простых чисел не является полным квадратом.

   Решение

---

Что больше: 7⁹² или 8⁹¹?

   Решение

---

Известно, что tg  + tg  = p, ctg  + ctg  = q. Найти
tg ( + ).

   Решение

---

Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями:   x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|,  причём  0 ≤ x₁ ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая  а) в том  б) и только в том случае, когда x₁ рационально.

   Решение

---

  а) Каких чисел больше среди целых чисел первой тысячи (включая и 1000): в записи которых есть единица, или остальных?

  б) Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?

   Решение

---

Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём меняется в зависимости от времени t по закону

h(t)=at²+bt+c,
а в момент t₀ окончания слива выполнены равенства h(t₀)=h'(t₀)=0 . За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?

   Решение

---

Существуют ли такие натуральные числа x и y, что  x² + x + 1  является натуральной степенью y, а  y² + y + 1  – натуральной степенью x?

   Решение

---

Моток ниток проткнули насквозь 72 цилиндрическими спицами радиуса 1 каждая, в результате чего он приобрел форму цилиндра радиуса 6. Могла ли высота этого цилиндра оказаться также равной 6?

   Решение

---

Астролог считает, что 2013 год счастливый, потому что 2013 нацело делится на сумму  20 + 13.
Будет ли когда-нибудь два счастливых года подряд?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 117000  (#7.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7

Астролог считает, что 2013 год счастливый, потому что 2013 нацело делится на сумму  20 + 13.
Будет ли когда-нибудь два счастливых года подряд?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 117001  (#7.2)

Тема:   [ Математическая логика (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7

В семье весёлых гномов папа, мама и ребёнок. Имена членов семьи: Саша, Женя и Валя. За обеденным столом два гнома сделали по два заявления.
  Валя: "Женя и Саша разного пола. Женя и Саша – мои родители".
  Саша: "Я – отец Вали. Я – дочь Жени".
Восстановите имя и отчество гнома-ребёнка, если известно, что каждый гном один раз сказал правду, и один раз пошутил.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 117002  (#7.3)

Темы:   [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7

Из квадратного листа бумаги сложили треугольник (см. рисунки). Найдите отмеченный угол.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 117003  (#7.4)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Кооперативные алгоритмы ]

Сложность: 3+ Классы: 5,6,7

Два фокусника показывают зрителю такой фокус. У зрителя есть 24 карточки, пронумерованные числами от 1 до 24. Он выбирает из них 13 карточек и передаёт первому фокуснику. Тот возвращает зрителю две из них. Зритель добавляет к этим двум одну из оставшихся у него 11 карточек и, перемешав, передаёт эти три карточки второму фокуснику. Каким образом фокусники могут договориться так, чтобы второй всегда с гарантией мог определить, какую из трёх карточек добавил зритель?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 117004  (#7.5)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7

Разрежьте по клеточкам квадрат 7×7 на девять прямоугольников (не обязательно различных), из которых можно будет сложить любой прямоугольник со сторонами, не превосходящими 7.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями