Сумма углов n-угольника. Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями. Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике равна (n - 2).

   Решение

При каких n многочлен  1 + x² + x⁴ + ... + x^2n–2  делится на  1 + x + x² + ... + x^n–1?

   Решение

Докажите, что для любого натурального n  2⁵ⁿ⁺³ + 5ⁿ·3ⁿ⁺²  делится на 17.

   Решение

На сколько частей делят пространство n плоскостей "общего положения"? И что это за "общее положение"?

   Решение

Пусть m₁(x), ..., m_n(x) – попарно взаимно простые многочлены, a₁(x), ..., a_n(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
    p(x) ≡ a₁(x) (mod m₁(x)),
      ...
    p(x) ≡ a_n(x) (mod m_n(x))
и  deg p(x) < deg m₁(x) + ... + deg m_n(x).

   Решение

Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на  x – 1,  и остаток 1 при делении на  x – 2.
Какой остаток дает P(x) при делении на многочлен  (x – 1)(x – 2)?

   Решение

Многоугольник имеет центр симметрии O. Докажите, что сумма расстояний до вершин минимальна для точки O.

   Решение

Из точки M описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ максимальна?

   Решение

Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин была бы наименьшей.

   Решение

Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение  x³ + y³ + z³ + kxyz  делилось на  x + y + z.

   Решение

Докажите, что для любого натурального n число  3²ⁿ⁺² + 8n – 9  делится на 16.

   Решение

Найдите внутри треугольника ABC точку O, для которой сумма квадратов расстояний от нее до сторон треугольника минимальна.

   Решение

Внутри острого угла BAC дана точка M. Постройте на сторонах BA и AC точки X и Y так, чтобы периметр треугольника XYM был минимальным.

   Решение

Докажите, что среди всех четырехугольников с фиксированными длинами сторон наибольшую площадь имеет вписанный четырехугольник.

   Решение

На одной стороне острого угла даны точки A и B. Постройте на другой его стороне точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом.

   Решение

Докажите, что для любого натурального n  6²ⁿ⁺¹ + 1  делится на 7.

   Решение

Докажите, что многочлен  P(x) = (x + 1)⁶ – x⁶ – 2x – 1  делится на  x(x + 1)(2x + 1).

   Решение

Даны угол XAY и окружность внутри его. Постройте точку окружности, сумма расстояний от которой до прямых AX и AY минимальна.

   Решение

Площадь трапеции равна 1. Какую наименьшую величину может иметь наибольшая диагональ этой трапеции?

   Решение

Точки A₁, B₁ и C₁ взяты на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC, причём отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке M.
При каком положении точки M величина  ^MA₁/_AA1·^MB₁/_BB1·^MC₁/_CC1 максимальна?

   Решение

Из точки M, лежащей внутри данного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MA₁, MB₁, MC₁ на прямые BC, CA, AB. Для каких точек M внутри данного треугольника ABC величина     принимает наименьшее значение?

   Решение

Докажите, что  11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹  делится на 133 при любом натуральном n.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

Докажите, что  11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹  делится на 133 при любом натуральном n.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого натурального n  2⁵ⁿ⁺³ + 5ⁿ·3ⁿ⁺²  делится на 17.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что  n³ + 5n  делится на 6 при любом целом n.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого натурального n  6²ⁿ⁺¹ + 1  делится на 7.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого натурального n число  3²ⁿ⁺² + 8n – 9  делится на 16.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]