- глава 1. Четность (28 задач)
- глава 2. Принцип Дирихле (1 задача)
- глава 5. Графы (42 задачи)
- глава 6. Комбинаторика (1 задача)
- глава 11. Остатки (42 задачи)
- глава 12. Уравнения в целых числах (36 задач)
- глава 14. Разные задачи (30 задач)
Фильтр
Выбрано 25 задач Убрать все задачи
Найти наименьшее натуральное N, дающее остаток 1 по модулю 2, 2 по модулю 3, ..., 7 по модулю 8.
Грани некоторого многогранника раскрашены в два цвета так, что соседние грани имеют разные цвета. Известно, что все грани, кроме одной, имеют число рёбер, кратное 3. Доказать, что и эта одна грань имеет кратное 3 число рёбер.
Постройте радикальную ось двух непересекающихся окружностей S1 и S2.
Верно ли, что любой треугольник можно разбить на четыре равнобедренных треугольника?
Существует ли ломаная, пересекающая все рёбра картинки по одному разу?
Доказать, что в двудольном плоском графе E ≥ 2F, если E ≥ 2 (E – число рёбер, F – число областей).
Найдите наибольшее из чисел 5100, 691, 790, 885.
Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.
Существует ли такое натуральное x, что x² + x + 1 делится на 1985?
На линейке отмечены три деления: 0, 2 и 5. Как отложить с её помощью отрезок, равный 6?
Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD
пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC
и AD — в точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD
и EF имеют общую радикальную ось, причем на
ней лежат ортоцентры треугольников
ABE, CDE, ADF и BCF.
На сторонах шестиугольника было записано шесть чисел, а в каждой вершине – число, равное сумме двух чисел на смежных с ней сторонах. Затем все числа на сторонах и одно число в вершине стерли. Можно ли восстановить число, стоявшее в вершине?
На сторонах треугольника ABC внешним образом
построены квадраты с центрами P, Q и R. На сторонах
треугольника PQR внутренним образом построены квадраты.
Докажите, что их центры являются серединами сторон
треугольника ABC.
У юного художника была одна банка синей и одна банка жёлтой краски, каждой из которых хватает на покраску 38 дм2 площади. Использовав всю эту краску, он нарисовал картину: синее небо, зелёную траву и жёлтое солнце. Зелёный цвет он получал, смешивая две части жёлтой краски и одну часть синей. Какая площадь на его картине закрашена каждым цветом, если площадь травы на картине на 6 дм2 больше, чем площадь неба?
Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые l1 и l2, пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры BB1, BB2, DD1 и DD2 на эти прямые. Докажите, что отрезки B1B2 и D1D2 равны и перпендикулярны.
При каких p и q двучлен x4 + 1 делится на x² + px + q?
В треугольнике $ABC$ $\angle A= 45^{\circ}$. Точка $A'$ диаметрально противоположна $A$ на описанной окружности треугольника. Точки $E$, $F$ на сторонах $AB$, $AC$ соответственно таковы. что $A'B=BE$, $A'C=CF$. Пусть $K$ – вторая точка пересечения окружностей $AEF$ и $ABC$. Докажите, что прямая $EF$ делит пополам отрезок $A'K$.
Можно ли начертить, не отрывая карандаша от бумаги (одним росчерком)
а) квадрат с диагоналями?
б) шестиугольник со всеми диагоналями?
Докажите, что для всех неотрицательных n выполняются равенства
а)
б)
Число x оканчивается на 5. Доказать, что x² оканчивается на 25.
На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a×с, b×d, с×a и d×b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.
Три окружности попарно пересекаются в точках A1
и A2, B1 и B2, C1 и C2. Докажите, что
A1B2 . B1C2 . C1A2 = A2B1 . B2C1 . C2A1.
Доказать, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
Если к числу 100 применить 99 раз операцию "факториал", то получится число A. Если к числу 99 применить 100 раз операцию "факториал", то получится число B. Какое из этих двух чисел больше?
Доказать, что связный граф можно обойти, проходя по каждому ребру дважды.
Задачи Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 180]
Задача 31095 (#27) |
|
|
а) В графе есть эйлеров путь. Доказать, что граф связен и вершин с нечётной степенью в нём не больше двух.
б) Доказать обратное: если в связном графе вершин с нечётной степенью не больше двух, то в нём есть эйлеров путь.
|
|
Решение |
Задача 31096 (#28) |
|
|
Доказать, что связный граф можно обойти, проходя по каждому ребру дважды.
|
|
Решение |
Задача 31097 (#29) |
|
|
а) Из какого минимального числа кусков проволоки можно спаять каркас куба?
б) Какой максимальной длины кусок проволоки можно вырезать из этого каркаса? (Длина ребра куба равна 1 см.)
|
|
|
Решение |
Задача 31098 (#30) |
|
|
Доказать, что
а) из связного графа можно выкинуть несколько рёбер так, чтобы осталось дерево;
б) в дереве с n вершинами ровно n – 1 ребро;
в) в дереве не меньше двух висячих вершин;
г) в связном графа из n вершин не меньше n – 1 ребра;
д) если в связном графе n вершин и n – 1 ребро, то он – дерево.
|
|
|
Решение |
Задача 31099 (#31) |
|
|
Есть волейбольная сетка 5×10. Какое максимальное число веревок, её составляющих, можно разрезать так, чтобы она не распалась?
|
|
|
Решение |
Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 180]
