На круглой поляне радиуса R растут три круглые сосны одинакового диаметра. Центры их стволов находятся на расстоянии от центра поляны в вершинах равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно из диаметрально противоположных точек поляны, обходят поляну по краю с одинаковой скоростью и в одном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят ли друг друга три человека, если они так же будут обходить поляну, выйдя из точек, находящихся в вершинах вписанного в поляну правильного треугольника?

   Решение

Тане было 16 лет 19 месяцев назад, а Мише будет 19 лет через 16 месяцев. Кто из них старше? Ответ объясните.

   Решение

Профессии членов семьи. В семье Семеновых 5 человек: муж, жена, их сын, сестра мужа и отец жены. Все они работают. Один — инженер, другой — юрист, третий — слесарь, четвертый — экономист, пятый — учитель. Вот что еще известно о них. Юрист и учитель не кровные родственники. Слесарь — хороший спортсмен. Он пошел по стопам экономиста и играет в футбол за сборную завода. Инженер старше жены своего брата, но моложе, чем учитель. Экономист старше, чем слесарь. Назовите профессии каждого члена семьи Семеновых.

   Решение

Треугольники ABC₁ и ABC₂ вписаны в окружность S, причем хорды AC₂ и BC₁ пересекаются. Окружность S₁ касается хорды AC₂ в точке M₂, хорды BC₁ в точке N₁ и окружности S. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC₁ и ABC₂ лежат на отрезке M₂N₁.

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 86]      

Окружность, касающаяся сторон AC и BC треугольника ABC в точках M и N, касается также его описанной окружности (внутренним образом). Докажите, что середина отрезка MN совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Треугольники ABC₁ и ABC₂ вписаны в окружность S, причем хорды AC₂ и BC₁ пересекаются. Окружность S₁ касается хорды AC₂ в точке M₂, хорды BC₁ в точке N₁ и окружности S. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC₁ и ABC₂ лежат на отрезке M₂N₁.

Прислать комментарий

Решение

На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S₁ касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S₂ касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I₁, I₂ и r, r₁, r₂ -- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S₁, S₂; = ADB. Докажите, что точка I лежит на отрезке I₁I₂, причём I₁I : II₂ = tg². Докажите также, что r = r₁cos² + r₂sin² (Тебо).

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD вписанный. Пусть r_a, r_b, r_c, r_d — радиусы вписанных окружностей треугольников BCD, ACD, ABD, ABC. Докажите, что r_a + r_c = r_b + r_d.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности имеют радиусы R₁ и R₂, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности ортогональны тогда и только тогда, когда  d² = R₁² + R₂².

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 86]