Версия для печати
Убрать все задачи

---

Расположите на плоскости как можно больше точек так, чтобы любые три точки не лежали на одной прямой и являлись вершинами равнобедренного треугольника.

   Решение

---

Число e определяется равенством    Докажите, что

а)  

б)    где  0 < r_n ≤ 1/_n!n;

в)  e – иррациональное число.

   Решение

---

Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A₁B₁C₁, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC
(B₁C₁ || PA,  C₁A₁ || PB,  A₁B₁ || PC). Через точки A₁, B₁, C₁ проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

   Решение

---

Один фермер сварил сыр в виде неправильной пятиугольной призмы, а другой — в виде правильной четырёхугольной пирамиды, высота которой в два раза меньше стороны основания. Ночью мыши отъели от всех вершин этих многогранников все частицы сыра, которые находились на расстоянии не больше 1 см от соответствующей вершины. У съеденных кусков сыра не было общих частиц. Какой из фермеров понёс больший ущерб и во сколько раз его ущерб больше?

   Решение

---

В треугольнике ABC сторона BC наименьшая. На лучах BA и CA отложены отрезки BD и CE, равные BC. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника ADE равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 176]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 56841  (#05.011)

Тема:   [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что:
а)  d² = R² - 2Rr, где d = OI;
б)  d_a² = R² + 2Rr_a, где d_a = OI_a.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56842  (#05.012B)

Тема:   [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности. Докажите, что OBBI (или же O совпадает с I) тогда и только тогда, когда b = (a + c)/2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56843  (#05.012)

Тема:   [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8

Продолжения биссектрис углов треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁; M — точка пересечения биссектрис. Докажите, что:

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56844  (#05.013)

Тема:   [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8

Длины сторон треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причем a < b < c. Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B₁. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB₁ пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56845  (#05.014)

Тема:   [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8

В треугольнике ABC сторона BC наименьшая. На лучах BA и CA отложены отрезки BD и CE, равные BC. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника ADE равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 176]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями