Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 18. Поворот >> параграф 3. Повороты на произвольные углы
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 22 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Берлов С.Л.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнены соотношения  AB = BD,  ∠ABD = ∠DBC.  На диагонали BD нашлась такая точка K, что  BK = BC.
Докажите, что  ∠KAD = ∠KCD.

Вниз   Решение

Прямая l пересекает стороны AB и AD и диагональ AC параллелограмма ABCD в точках E, F и G соответственно. Докажите, что  AB/AE + AD/AF = AC/AG.

ВверхВниз   Решение

В точках A и B прямой, по одну сторону от неё, восстановлены два перпендикуляра  AA1 = a  и   BB1 = b.
Докажите, что точка пересечения прямых AB1 и A1B будет находиться на одном и том же расстоянии от прямой AB независимо от положения точек A и B.

ВверхВниз   Решение

В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что  M ≥ N.

ВверхВниз   Решение

(sin x, sin y, sin z)  – возрастающая арифметическая прогрессия. Может ли последовательность  (cos x, cos y, cos z)  также являться арифметической прогрессией?

ВверхВниз   Решение

Решите уравнение

arcsin$\displaystyle {\dfrac{x^2-8}{8}}$ = 2 arcsin$\displaystyle {\dfrac{x}{4}}$ - $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$.


ВверхВниз   Решение

Пусть c — наибольшая сторона треугольника со сторонами a, b, c. Докажите, что если a2 + b2 > c2, то треугольник остроугольный, а если a2 + b2 < c2, — тупоугольный.

ВверхВниз   Решение

На плоскости нарисовали 10 равных отрезков и отметили все их точки пересечения. Оказалось, что каждая точка пересечения делит любой проходящий через неё отрезок в отношении  3 : 4.  Каково наибольшее возможное число отмеченных точек?

ВверхВниз   Решение

Автор: Волчкевич М.А.

В выпуклом четырехугольнике АВСD точка Е — середина CD, F — середина АD, K — точка пересечения АС и ВЕ. Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС.

ВверхВниз   Решение

Автор: Анджанс А.

64 друга одновременно узнали 64 новости, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. Каждый разговор длится 1 час. Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? (Во время одного разговора можно передать сколько угодно новостей.)

ВверхВниз   Решение

Точка К – середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так, что  BL = СМ.  Докажите, что треугольник LMK – также прямоугольный равнобедренный.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что треугольник ABC является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на 60° (либо по часовой стрелке, либо против) относительно точки A вершина B переходит в вершину C.

ВверхВниз   Решение

Диагональ параллелограмма делит его угол на части в 30o и 45o. Найдите отношение сторон параллелограмма.

ВверхВниз   Решение

Высота трапеции ABCD равна 7, основания AD и BC равны соответственно 8 и 6. Через точку E, лежащую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ AC в точке O в отношении  AO : OC = 3 : 2.  Найдите площадь треугольника OEC.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Есть доска 1×1000, вначале пустая, и куча из n фишек. Двое ходят по очереди. Первый своим ходом "выставляет" на доску не более 17 фишек по одной на любое свободное поле (он может взять все 17 из кучи, а может часть – из кучи, а часть – переставить на доске). Второй снимает с доски любую серию фишек (серия – это несколько фишек, стоящих подряд, то есть без свободных полей между ними) и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если ему удастся выставить все фишки в ряд без пробелов.
  а) Докажите, что при  n = 98  первый всегда может выиграть.
  б) При каком наибольшем n первый всегда может выиграть?

ВверхВниз   Решение

Четырёхугольник АВСD вписан в окружность, I – центр вписанной окружности треугольника ABD.
Найдите наименьшее значение BD, если  AI = BC = CD = 2.

ВверхВниз   Решение

Через центр квадрата проведены две перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата также образуют квадрат.

ВверхВниз   Решение

Дана прямая MN и две точки A и B по одну сторону от нее. Постройте на прямой MN точку X так, что  ∠AXM = 2∠BXN.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что проекции вершины A треугольника ABC на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах B и C лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение

В четырёхугольнике MNPQ расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон MN, NP, PQ, а другая – сторон MN, MQ, PQ. Точки B и A лежат соответственно на сторонах MN и PQ, причём отрезок AB касается обеих окружностей. Найдите длину стороны MQ, если  NP = b  и периметр четырёхугольника BAQM больше периметра четырёхугольника ABNP на величину 2p.

ВверхВниз   Решение

Из точки P проведены две касательные к окружности, диаметр MN которой равен 24. Одна из них касается окружности в точке M, а вторая пересекает прямую MN в точке Q, при этом отрезок MP больше 25. Найдите площадь треугольника MPQ, если его периметр равен 486.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что при повороте на угол $ \alpha$ с центром в начале координат точка с координатами (x, y) переходит в точку

(x cos$\displaystyle \alpha$ - y sin$\displaystyle \alpha$, x sin$\displaystyle \alpha$ + y cos$\displaystyle \alpha$).


Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

  с решениями  

Задача 57944

Тема:   [ Поворот (прочее) ]
Сложность: 2
Классы: 9

Докажите, что при повороте на угол $ \alpha$ с центром в начале координат точка с координатами (x, y) переходит в точку

(x cos$\displaystyle \alpha$ - y sin$\displaystyle \alpha$, x sin$\displaystyle \alpha$ + y cos$\displaystyle \alpha$).


Прислать комментарий     Решение

Задача 57945

Тема:   [ Поворот (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9

Даны точки A и B и окружность S. Постройте на окружности S такие точки C и D, что AC| BD и дуга CD имеет данную величину $ \alpha$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57946

Тема:   [ Поворот (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9

Поворот с центром O переводит прямую l1 в прямую l2, а точку A1, лежащую на прямой l1, — в точку A2. Докажите, что точка пересечения прямых l1 и l2 лежит на описанной окружности треугольника A1OA2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57947

Тема:   [ Поворот (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9

На плоскости лежат две одинаковые буквы $ \Gamma$. Концы коротких палочек этих букв обозначим A и A'. Длинные палочки разбиты на n равных частей точками A1,..., An - 1; A1',..., An - 1' (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Прямые AAi и A'Ai' пересекаются в точке Xi. Докажите, что точки X1,..., Xn - 1 образуют выпуклый многоугольник.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57948

Тема:   [ Поворот (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9

По двум прямым, пересекающимся в точке P, равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки: по одной прямой — точка A, по другой — точка B. Через точку P они проходят не одновременно. Докажите, что в любой момент времени описанная окружность треугольника ABP проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от P.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .