Впишите в данный остроугольный треугольник ABC квадрат KLMN так, чтобы вершины K и N лежали на сторонах AB и AC, а вершины L и M — на стороне BC.

   Решение

а) Для данного треугольника ABC, все углы которого меньше  120^o, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше  120^o, взята точка O, из которой его стороны видны под углом  120^o. Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна (a² + b² + c²)/2 + 2S.

   Решение

Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.

   Решение

У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.

   Решение

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите, что  1/PQ = 1/PB + 1/PC.

   Решение

В ребусе $\text{ТУР}+\text{ТУР}+\text{ТУР}+...+\text{ТУР}=\text{ТУРЛОМ}$ одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы заменяют разные цифры. Часть одинаковых слагаемых мы заменили многоточием. Сколько всего может быть ТУРов, чтобы ребус имел решение? Найдите наименьшее и наибольшее количества.

   Решение

Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A₂, B₂ и C₂; A₁B₁C₁ — подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99). Докажите, что  A₁B₁C₁ A₂B₂C₂.

   Решение

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC₁, AB₁C и A₁BC. Пусть P и Q — середины отрезков A₁B₁ и A₁C₁. Докажите, что треугольник APQ правильный.

   Решение

В треугольник  T_a = A₁A₂A₃ вписан треугольник  T_b = B₁B₂B₃, а в треугольник T_b вписан треугольник  T_c = C₁C₂C₃, причем стороны треугольников T_a и T_c параллельны. Выразите площадь треугольника T_b через площади треугольников T_a и T_c.

   Решение

На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Докажите, что  AC ^. AD/AM = BC ^. BD/BM.

   Решение

При каких значениях параметра a многочлен  P(x) = xⁿ + ax^n–2  (n ≥ 2)  делится на  x – 2 ?

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 45]      

При каких значениях параметра a многочлен  P(x) = xⁿ + ax^n–2  (n ≥ 2)  делится на  x – 2 ?

Прислать комментарий

Решение

При каких p и q двучлен  x⁴ + 1  делится на  x² + px + q?

Прислать комментарий

Решение

При каких a многочлен  P(x) = a³x⁵ + (1 – a)x⁴ + (1 + a³)x² + (1 – 3a)x – a³  делится на  x – 1?

Прислать комментарий

Решение

Найти все многочлены P(x), для которых справедливо тождество:  xP(x – 1) ≡ (x – 26)P(x).

Прислать комментарий

Решение

Дано уравнение  xⁿ – a₁x^n–1 – a₂x^n–2 – ... – a_n–1x – a_n = 0,  где  a₁ ≥ 0,  a₂ ≥ 0,  a_n ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 45]