Версия для печати
Убрать все задачи

---

На хорде AC окружности ω выбрали точку B. На отрезках AB и BC как на диаметрах построили окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂, которые пересекают ω второй раз в точках D и E соответственно. Лучи O₁D и O₂E пересекаются в точке F. Лучи AD и CE пересекаются в точке G.
Докажите, что прямая FG проходит через середину AC.

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ACBD, площадь которого равна 25, проведены диагонали. Известно, что  S_ABC = 2 S_BCD,  а  S_ABD = 3 S_ACD.  Найдите площади треугольников ABC, ACD, ADB и BCD.

   Решение

---

Точки K, L, M и N на сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD образуют еще один квадрат. DK пересекает NM в точке E, а KC пересекает LM в точке F.
Докажите, что  EF || AB.

   Решение

---

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, проведена биссектриса треугольника BD; отмечены середины E и F дуг BD окружностей, описанных около треугольников ADB и CDB соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64879  (#16)

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Из некоторой точки D в плоскости треугольника ABC провели прямые, перпендикулярные к отрезкам DA, DB, DC, которые пересекают прямые BC, AC, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Докажите, что середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64880  (#17)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Построения одной линейкой ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, проведена биссектриса треугольника BD; отмечены середины E и F дуг BD окружностей, описанных около треугольников ADB и CDB соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64881  (#18)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Точка Лемуана ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Касательные к описанной окружности треугольника AIC в точках A, C пересекаются в точке X. Касательные к описанной окружности треугольника BID в точках B, D пересекаются в точке Y. Докажите, что точки X, I, Y лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64882  (#19)

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Окружности ω₁ и ω₂ касаются друг друга внешним образом в точке P. Из точки A окружности ω₂, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные AB, AC к ω₁. Прямые BP, CP вторично пересекают ω₂ в точках E и F. Докажите, что прямая EF, касательная к ω₂ в точке A, и общая касательная к окружностям в точке P пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64883  (#20)

Темы:   [ Общие четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три окружности пересекаются в одной точке ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Дан четырёхугольник KLMN. Окружность с центром O пересекает его сторону KL в точках A и A₁, сторону LM в точках B и B₁, и т.д. Докажите что
  а) если описанные окружности треугольников KDA, LAB, MBC и NCD пересекаются в одной точке P, то описанные окружности треугольников KD₁A₁, LA₁B₁, MB₁C₁ и NC₁D₁ также пересекаются в одной точке Q;
  б) точка O лежит на серединном перпендикуляре к PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями